Lineaire algebra

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

inleiding

Het examen Lineaire Algebra is helemaal niet zo moeilijk als het vak op het eerste zicht lijkt. Het examen is schriftelijk, dus je hoeft al geen rechtstreekse confrontatie met prof. Veys aan te gaan.

Het examen begint met zeker 2 theorievragen (kijk bij de examenvragen voor voorbeelden). Theorievragen kunnen bewijzen zijn, en indien het bewijzen zijn, hoeven het geen bewijzen die letterlijk in de cursus staan te zijn. Het is dus de bedoeling dat je min of meer ervaren raakt in “het bewijzen van dingen”. Af en toe wordt hierop geoefend in de oefenzittingen.

Verder is de kans ook vrij groot dat 1 van de toepassingen gegeven wordt (altijd in bijlage, je hoeft ze dus niet van buiten te kennen), en dat daar een vraag over gesteld wordt. Deze vraag kan theoretisch geïnspireerd zijn, maar het kan ook een oefening zijn die concreet gebruik maakt van de theorie van de toepassing. Op het examen heb je waarschijnlijk te weinig tijd om je nog wegwijs te maken in de gegeven toepassing, dus zorg dat je de toepassingen vooraf grondig doorgenomen hebt (en ze verstaat).

De oefeningen zijn van heel uiteenlopende aard, maar meestal niks ondoenbaars (altijd volgens werkwijzen uit de oefenzittingen). Hier en daar kan soms wel eens *net iets meer* inzicht vereist zijn, dus blijf vooral rustig en geconcentreerd doorwerken. De laatste vraag is meestal een oefening in context van een bepaalde situatie of een verhaaltje, waar je meestal nogal wat inzicht en creativiteit goed kan gebruiken.

Uiteindelijk viel dit examen beter mee dan ik had verwacht, en dat bleek ook voor anderen zo te zijn. Zorg dat je zeker alles gestudeerd krijgt, en sla niks over uit tijdsnood. Je zou je dat anders beklagen op het examen in termen van “deze oefening is helemaal niet zo moeilijk, en ik had ze zeker gekund als ik naar die theorie had gekeken”.

Eerst zit 2003-2004, wiskunde/natuurkunde

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: ${𝒜}$ is orthogonaal $⟺A^T=A^{-1}$.

Vraag 2

Zij V een vectorruimte en zij $U_1$, $U_2$ en $U_3$ deelruimten van V.

1. Wat betekent $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$ ?
2. Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$, dan is $\dim (V)=\sum _{i=1}^3\dim (U_i)$.

Vraag 3

Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.

1. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
2. Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is.
3. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
4. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.

Vraag 4

Zij $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\}$ een basis van de duale ruimte V*.

1. Toon aan dat ${𝒜}:V\to V:v\to {\phi }_1(v)e_1+\cdots +{\phi }_n(v)e_n$ een lineaire afbeelding is.
2. Toon aan dat ${𝒜}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.

Vraag 5

Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met

${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ waarbij m een reële parameter is.

1. Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
2. Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
3. Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.

Vraag 6

Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Eerste zit 2003-2004, informatica

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:

$\dim (V)=\dim (\ker {𝒜})+dim(?)$

Vraag 2

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: $W^{\mathrm{\perp }}=\{v\in V|v\mathrm{\perp }w\text{ voor alle }w\in W\}$.

1. Bewijs dat $W^{\mathrm{\perp }}$ een deelruimte is van V .
2. Leg uit wat dit betekent en bewijs: $V=W\oplus W^{\mathrm{\perp }}$. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.

Vraag 3

Zij $U=<(-1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)>$ een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^3$.

1. Geef een basis van U.
2. Wat is de dimensie van U?
3. Bestaat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^3$ die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.

Vraag 4

Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.

1. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
2. Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
3. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
4. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.

Vraag 5

Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met

${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ waarbij m een reële parameter is.

1. Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
2. Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
3. Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.

Vraag 6

Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$.

1. Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat $P^{-1}AP=D$
2. Bepaal $A^{2004}$.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toets 2003-2004

Vraag 1

Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V.

1. Leg uit wat U + W is.
2. Bewijs dat $\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W$.

Vraag 2

Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling $V\times W=\{(v,w)|v\in V,w\in W\}$. Met de optelling gedefinieerd door $(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$ en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$ wordt $V\times W$ dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat $\dim (V\times W)=\dim V+\dim W$.

Vraag 3

Zij k een reële parameter en zij $\{e_1,e_2,e_3\}$ de standaardbasis van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij $f_k$ de lineaire transformatie van ${\mathbb{ℝ}}^3$ waarvoor geldt dat $f_k(e_1)=k{e}_1-k{e}_2+k{e}_3$, $f_k(e_2)=-e_1+(2k-1)e_2+e_3$ en $f_k(e_3)=2e_1-2k{e}_2-2e_3$.

Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van $f_k$?

Vraag 4

Geef een vectorruimte V en een deelruimte W van V zodat $W\ne V$ en $V\cong W$. Bewijs dat je antwoord aan alle voorwaarden voldoet.

Tussentijdse toets 2004-2005

Vraag 1

Zij ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding tussen twee eindigdimensionale vectorruimten. Zijn E en E' basissen van V, en zijn F en F' basissen van W. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van basissen E van V en F van W. Zij P de matrix van basisverandering van E naar E' en zij Q de matrix van basisverandering van F naar F'. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van de basissen E' van V en F' van W, en bewijs.

Vraag 2

Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V zodat $U\cap W=\left\{0\right\}$.

Bewijs dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat $W\subset W^{\prime }$ en $U\oplus W^{\prime }=V$.

Vraag 3

Gegeven zijn de deelruimten $U_a=[(4+a,2,0,-2),(3,a-1,0,-1)]$ en $V_a=[(3,5,a+1,-5),(0,10+a,0,0)]$ van ${\mathbb{ℝ}}^4$.

Bepaal $\dim (U_a\cap V_a)$ in functie van de reële parameter a.

Vraag 4

1. Toon aan dat de vectoren sin, cos en Id uit de vectorruimte ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ lineair onafhankelijk zijn.
2. Is $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}|\mathrm{\exists }a\in \mathbb{ℝ}:f(a)=0\}$ een deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$? Verklaar.