Inleiding tot de Hogere Wiskunde

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

inleiding

Het examen voor het vak "Inleiding tot de Hogere Wiskunde" bestaat uit 6 vragen: 2 theorievragen (die elk op 4 punten staan) en 4 oefening-vragen (die elk op 3 punten staan). Voor het examen krijg je 4 uur tijd: dat is niet zo veel, dus werk goed door. Je mag op het examen je formularium gebruiken (zolang je het zelf meeneemt). Probeer om bij het studeren steeds je formularium bij je te hebben, zodat je daaraan "went" en alles goed weet staan.

Wat de theorievragen betreft kan er in principe niet zoveel misgaan. Je moet weliswaar een relatief groot aantal definities en stellingen kennen (en nauwkeurig kunnen formuleren), maar het aantal bewijzen dat je moet leren is héél beperkt. Een theorievraag bestaat meestal uit 2 delen - in dat geval is het eerste deel waarschijnlijk een definitie, en het tweede deel is waarschijnlijk een toepassing daarop. De kans is groot dat je een stelling zal moeten bewijzen waarvan het bewijs een "aanpassing" is van het bewijs in de cursus. Zorg ervoor dat je deze bewijzen beheerst en vlotjes kan aanpassen. Zo staat er in de cursus bijvoorbeeld het bewijs voor het feit dat elke niet-lege, naar boven begrensde verzameling een supremum heeft: een typische vraag zou dan zijn om de analoge stelling te bewijzen voor een naar onder begrensde verzameling, met een infimum dus. Professor Kuijlaars is heel erg goed in het "vermommmen" van stellingen en probeert mensen in de war te brengen - zorg er dus voor dat je de stelling in kwestie "herkent", laat je niet vangen. Niet alle theorievragen zijn definities of bewijzen - de prof kan natuurlijk ook vragen hoe de Riemann integraal wordt ingevoerd, hoe je een differentiaalvergelijking van de tweede orde oplost, ... of soms zal je een bewijsje moeten geven dat je zelf moet verzinnen en dat niet in de cursus staat.

De oefeningen zijn meestal typische oefeningen uit de oefenzittingen - al zijn ze soms iets moeilijk. Zorg ervoor dat je geen moeite meer hebt met "standaard"-dingen zoals limieten, afgeleiden, integralen berekenen, de convergentie van een rij aantonen, een inductiebewijs geven, gewone differentiaalvergelijkingen oplossen, ... Je mag zeker een echte rekenoefening verwachten - waarbij je een paar integralen of limieten moet berekenen. Ook een differentiaalvergelijking zal er hoogstwaarschijnlijk bijhoren, al kan dat bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking met niet-constante coëfficiënten zijn (en dan zal hij wel een hint of twee geven - zie het examen van 2005-2006, eerste zit, vraag 4).

De conclusie is: als je goed voorbereid bent, zal je niet voor verrasingen komen te staan...

Eerste zit 2005-06

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.
2. Gebruik deze definitie om aan te tonen dat een reële rij $(a_n)$ convergeert als er geldt dat $a_n\ge 0$ voor alle $n\ge 100$ en $a_n\ge a_{n+1}$ voor alle $n\ge 2006$.

Vraag 2

1. Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$.
2. Zijn $g:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ en $h:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ afleidbare functies. Beschouw de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ gegeven door de vergelijkingen g(x,y,z) = a en h(x,y,z) = b, waarbij a en b reële constanten zijn. Laat zien dat het vectorproduct $\mathrm{\nabla }g\times \mathrm{\nabla }h$, uitgerekend in een punt op de kromme, een raakvector aan de kromme is.

Vraag 3

1. Bewijs met behulp van volledige inductie dat de identiteit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ geldt voor alle natuurlijke getallen n en voor alle reële getallen x in ]-1,1[.
2. Bewijs dat voor een reële veelterm p(x) van graad n geldt dat $\int e^{x}p(x)dx=e^{x}q(x)+C$ waarbij q(x) de veelterm is die gegeven wordt door $q(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{p}^{(k)}(x)=p(x)-p^{\prime }(x)+...$.

Vraag 4

Beschouw de differentiaalvergelijking t²x"(t) + 3tx'(t) + 3x(t) = 0 voor t > 0.

1. Zoek oplossingen voor de differentiaalvergelijking van de vorm $x(t)=t^{\lambda }$ met $\lambda$ een complex getal. Bepaal dan de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. (Hint: gebruik de identiteit $t^{\lambda }=e^{\lambda \ln t}$ die geldt voor alle $\lambda \in \mathbb{ℂ}$ en voor alle t > 0.)
2. Bepaal alle oplossingen waarvoor geldt dat x(1) = 0. Deze oplossingen hebben nog andere nulpunten. Bepaal al deze nulpunten.

Vraag 5

Van de volgende 5 oefeningen moeten er precies 4 worden opgelost.

• Zij $(a_n)$ een reële rij met limiet 3 en zij $(b_n)$ een reële rij zodat $b_0=8$ en $b_{n+1}=b_n/2+a_n$ voor alle n. Bepaal de limiet van $(b_n)$.

• Bepaal alle reële getallen A waarvoor geldt dat $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+Ax}-x)=1.$

• Bereken de limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3.$

• Bepaal de Taylorveeltermen van graad 3 in het punt 0 voor $f(x)=\ln (\cos x)$ en $g(x)={\left(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">bgtan</mrow>}x\right)}^2$. Bereken $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$.

• Bereken de integraal $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

Vraag 6

Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken: $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}:(x,y,z)\mapsto x^2-2x+y^2-4y+z^2-4z.$

1. Bepaal en classificeer alle kritieke punten van f.
2. Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door $x^2+y^2+z^2\le 36$.

Tweede zit 2004-05

Bron: Toledo

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(z_n)$ van complexe getallen.
2. Geef de definitie van convergentie en van absolute convergentie van een reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$. Geef een voorbeeld van een convergente reeks die niet absoluut convergent is.
3. Neem aan dat $(z_n)$ en $(w_n)$ twee rijen van complexe getallen zijn waarvoor geldt dat $|z_n|\le 5|w_n|$ als $n\ge 2005$. Neem aan dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|w_n|$ convergent is. Bewijs hieruit dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ dan ook convergent is.
   [N.B. U moet hierbij het bewijs van een analoge stelling uit de cursus aanpassen aan de gegeven situatie. Eigenschappen van convergente rijen mag u gebruiken; evenals de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is.]

Vraag 2

1. Leg duidelijk uit hoe de bepaalde integraal $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ van een begrensde functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ is ingevoerd. Behandel hierbij in ieder geval:
   • Een partitie van [a, b].
   • De bovensom en ondersom behorende bij een partitie.
   • De bovenintegraal en onderintegraal.
2. Formuleer de hoofdstelling van de integraalrekening en leg uit hoe deze gebruikt kan worden om de afgeleide van een functie van de vorm $x\to \underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(t)dt$ te berekenen. Hierin zijn a(x) en b(x) gegeven afleidbare functies van x.

Vraag 3

1. Bereken de oplossing van de differentiaalvergelijking $x+2x-3x=t+1$ die voldoet aan $x(0)=1$ en $x^{\prime }(0)=0$.
2. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een functie $y=y(t)$
   $y=20y-y^2$
   en schets de grafiek van enkele oplossingen.

Vraag 4

Maak 4 van de onderstaande 5 opgaven naar keuze. Doorstreep duidelijk de opgave die je niet wil laten meetellen. U MOET ÉÉN OPGAVE DOORSTREPEN!

1. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ met $(a_n)$ de rij gedefinieerd door $a_n+1=\sqrt{1+2a_n}$ en $a_0=4$.
   [N.B. U hoeft niet aan te tonen dat de rij convergent is.]
2. Bereken $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt{x-1}}{\text{bgcos }x}$
3. Bereken $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{[\ln (e+\frac{1}{x})]}^x$
4. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$
5. Bereken $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{y}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin x}{x+y}dxdy$

Vraag 5

Beschouw de volgende machtreeks: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{1+k^2}(x-1{)}^k$

1. Bepaal de convergentieschijf van deze machtreeks en maak een schets van de convergentieschijf in het complexe vlak.
   [N.B. Convergentie op de rand hoeft u niet te onderzoeken.]
2. Onderzoek of de machtreeks convergeert in de volgende punten:
   • x = 0
   • x = 1 + 2i
   • x = 2

Tussentijdse toets 2005-2006

Vraag 1

1. Geef de definitie van continuïteit van een functie g op een interval [a, b].
2. Neem aan dat $g:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ continu is. Bewijs dat de functie naar onder begrensd is, met andere woorden, bewijs dat er een $m\in \mathbb{ℝ}$ bestaat met de eigenschap dat $g(x)\ge m,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Vraag 2

Zij $(a_n)$ de rij gegeven door $a_0=2$ en $a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+\frac{1}{a_n^2}$, voor alle n.

1. Laat zien dat de rij dalend is.
2. Toon aan dat de rij convergeert en bepaal de limiet.

Vraag 3

Zij $f:{\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f(x)=\sqrt{x^4+\alpha x}-x^2$, met $\alpha >0$ een vast getal.

1. Bereken de limiet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }xf(x)$.
2. Bepaal $\alpha$ zodat f een kritiek punt heeft in x = 1.
3. Onderzoek de convergentie van de reeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(k)$.

Andere vragen

Vraag 1

1. Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $x_0\in \mathbb{ℝ}$.
2. Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie van n veranderlijken $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{ℝ}}^n$.
3. Neem aan dat alle eerste en tweede orde partiële afgeleiden van $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ bestaan en continu zijn. Zij $\overrightarrow{p}$ de gradiënt en H de Hessiaan van f in het punt $\overrightarrow{x_0}\in {\mathbb{ℝ}}^n$. Neem aan dat $\overrightarrow{p}\ne \overrightarrow{0}$. Kruis alle juiste uitspraken aan.
   • $\overrightarrow{p}$ staat loodrecht op het niveauoppervlak van f.
   • $\overrightarrow{p}$ staat loodrecht op de grafiek van f.
   • f bereik in $\overrightarrow{x_0}$ geen extremum.
   • Het zou kunnen dat f in $\overrightarrow{x_0}$ een extremum bereikt. Dit hangt af van de eigenwaarden van H.

Vraag 2

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(a_n)$ van reële getallen.
2. Neem aan dat $(a_n)$ een rij positieve getallen is met de eigenschap dat $\mathrm{\forall }n\ge 100:a_n\ge a_{n+1}$. Bewijs met behulp van de definitie dat de rij $(a_n)$ convergent is.

Vraag 3

Beschouw de kromme K die in poolcoördinaten gegeven wordt door $r=1+\sin \theta$, $\theta \in [0,2\pi ]$.

1. Schets de kromme K.
2. Bereken de lengte van K.

Vraag 4

1. Vind alle kritieke punten van de functie $f(x,y)=xy(4-x^2-y^2)$. Geef van elk kritiek punt aan of het een lokaal maximum, lokaal minimum of een zadelpunt betreft.
2. Bereken het maximum en het minimum van f(x,y) op het vierkant $V=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\Vert 0\le x\le 2,0\le y\le 2\}$.

Vraag 5

Beschouw de differentiaalvergelijking
$x^{\prime }=\sqrt{x}-x$ (1)
met beginvoorwaarde x(0) > 0.

1. Neem $y(t)=\sqrt{x(t)}$ en leid een differentiaalvergelijking voor y(t) af.
2. Bepaal de algemene oplossing van (1).
3. Schets de grafiek van de oplossing van (1) die voldoet aan x(0) = 4.

Vraag 6

1. Neem aan dat f continu is in het interval [-3,3] met f(-3) = 2 en f(3) = -1. Bewijs dat er tenminste één $x_0\in [-3,3]$ bestaat met $f(x_0)=1$.
2. Hoeveel stappen van de bisectiemethode zijn nodig om het punt $x_0$ te berekenen met een fout die kleiner is dan $10^{-12}$?

Vraag 7

1. Geef de definitie van convergentie en absolute convergentie van een reeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.
2. Wat is de convergentiestraal $R_c$ van een machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$? Geef drie voorbeelden van machtreeksen met respectievelijke convergentiestralen $R_c=0,R_c=2,R_c=+\mathrm{\infty }$.
3. Neem aan dat de reeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ convergent is. Wat kunt u hieruit concluderen omtrent de convergentiestraal van de machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^n$?
   • De convergentiestraal van de machtreeks is $\ge 1$.
   • De convergentiestraal van de machtreeks is $\le 1$.
   • De convergentiestraal van de machtreeks is 1.
   • Je kunt niets zeggen over de convergentiestraal.
4. Neem aan dat de convergentiestraal van $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^n$ gelijk is aan 3. Wat kunt u hieruit concluderen?
   • De convergentiestraal van $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|x^n$ is ook geijk aan 3.
   • De limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$ bestaat en is gelijk aan 1/3.
   • Als $(b_n)$ een rij is met $b_n=O(a_n)$ als $n\to \mathrm{\infty }$, dan is de convergentiestraal van de machtreeks $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{x}^n$ ten minste gelijk aan 3.

Vraag 8

Beschouw de integraal $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\left(\underset{x}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\cos y}{x+y}dy\right)dx$.

1. Schets het gebied in ${\mathbb{ℝ}}^2$ waarover geïntegreerd wordt.
2. Bereken de integraal.

Vraag 9

Beschouw $F:{\mathbb{ℝ}}^2:(x,y)\to F(x,y)=(x+y)e^{-xy}$

1. Bereken de gradiënt van F en teken de krommen in het xy-vlak waarvoor

$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=0$ of $\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=0$.

1. Bereken de kritieke punten van F.
2. Bepaal de aard van het kritieke punt dat zich in het eerste kwadrant bevindt. Betreft het een lokaal maximum, lokaal minimum of zadelpunt?

Vraag 10

Neem aan dat de functies x(t) en y(t) voldoen aan de differentiaalvergelijkingen
$x^{\prime }(t)=-x(t)y(t)$, $y^{\prime }(t)=-2x(t)y(t)$. (1)

1. Toon aan dat er een constante $C\in \mathbb{ℝ}$ is met $y(t)=2x(t)+C$.
2. Geef de algemene oplossing van (1). Bepaal zowel x(t) als y(t).
   [N.B. Het antwoord hangt af van de constante C uit (a). Onderscheid de gevallen $C=0$ en $C\ne 0$]

Vraag 11

Zij D het gebied $D=\{(x,y)\in \mathbb{ℝ}\Vert x>0,y>0,x+y<2,x^2+y^2>2\}$.

1. Maak een schets van D.
2. Berekent de integraal $\int \underset{D}{\int }\frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy$.

Vraag 12

Beschouw de differentiaalvergelijking $x^{\prime }(t)+\frac{6}{t}x(t)=t^2$.

1. Bepaal de algemene oplossing.
2. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking die een extremum bereikt in t=1.

Vraag 13

1. Geef de definitie (rijdefinitie of $\epsilon -\delta$ definitie) van continuïteit van een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ in een punt $x_0$.
2. Neem aan dat f continu is in het interval [1,2]. Bewijs dat er een M>0 is zodanig dat $\mathrm{\forall }x\in [1,2]:f(x)\le M$.

Vraag 14

1. Leg uit hoe de homogene differentiaalvergelijking
   $x^{\prime \prime }(t)+a{x}^{\prime }(t)+bx(t)=0$ (1)
   met constanten $a,b\in \mathbb{ℝ}$ algemeen opgelost kan worden. Vermeld wat de rol is van de karakteristieke veelterm.
2. Kruis de juiste beweringen aan omtrent de differentiaalvergelijking
   $x^{\prime \prime }(t)+a{x}^{\prime }(t)+bx(t)=e^t$ (2)
   • De oplossingen van (2) vormen een reële vectorruimte van dimensie 2.
   • De differentiaalvergelijking (2) kan worden opgelost met de methode van scheiding van veranderlijken.
   • Een particuliere oplossing kan gevonden worden door $x(t)=C{e}^t$ te proberen in (2).

Vraag 15

Gegeven $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:(x,y)\to x^2+y^2+4y$.

1. Zoek $\overrightarrow{p}\in {\mathbb{ℝ}}^3$ zodat de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in $\overrightarrow{p}$ gegeven wordt door $-6y+z=-1$.
2. Bepaal de kritieke punten en hun aard van de functie f.

Vraag 16

Bereken de volgende limieten:

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{e^x-1}$ zonder de regel van de l'Hôpital te gebruiken!
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(e^{5x}-5x{)}^{\frac{5}{x}}$.
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^6}\sum _{k=1}^n{k}^5$

Vraag 17

1. Leg uit hoe de bepaalde integraal van een begrensde functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ ingevoerd is. Laat hierbij in ieder geval de volgende begrippen aan bod komen:
   • Partitie van [a,b]
   • Ondersom en bovensom
   • Onderintegraal en bovenintegraal
   • Riemann-integreerbaarheid van f
2. Gegeven is een dalende functie $f:[0,\mathrm{\infty }[\to [0,\mathrm{\infty }[$ waarvoor de oneigenlijke integraal $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt$ convergent is. Kruis alle juiste uitspraken aan.
   • De limiet $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t)$ bestaat.
   • De reeks $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ is convergent.
   • De reeks $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^2(k)$ is convergent.
   • Indien $g(t)\le f(t)$ voor elke $t\in [0,\mathrm{\infty }[$, dan convergeert $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)dt$.

Vraag 18

Gegeven is de functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:(x,y)\to x^3+x{y}^2-3x$.

1. Bereken de kritieke punten van f.
2. Bepaal van elk kritiek punt of het een lokaal minimum, lokaal maximum of een zadelpunt is.
3. Bereken $\int \underset{D}{\int }f(x,y)dxdy$ waarin $D=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\Vert 0\le x^2+y^2\le 2,x\ge 0,y\ge 0\}$.

Vraag 19

Leg duidelijk uit hoe een differentiaalvergelijking van de vorm $a{x}^{\prime \prime }(t)+bx(t)=t^2$ opgelost kan worden. Hierin is $a\in {\mathbb{ℝ}}_0$ en $b\in \mathbb{ℝ}$.

Vraag 20

Beschouw de functie $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$.

1. Onderzoek het verloop van f en maak een schets van de grafiek.
2. Bepaal voor welke $p\in \mathbb{ℝ}$ de reeks $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{k}^{p}f(k)$ convergent is.

Vraag 21

1. Geef de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking $x^{\prime }(t)=4x(t)-x(t{)}^2$.
2. Bereken de limiet $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(t)$. U mag aannemen dat x(0) > 0.

Vraag 22

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(a_n)$.
2. Naam aan dat $(a_n)$ en $(b_n)$ twee rijen zijn waarvoor geldt $\mathrm{\forall }n\ge 100:a_n<b_n<a_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Neem aan dat de rij $(a_n)$ convergeert. Toon aan dat $(b_n)$ ook convergent is.
3. Kruis alle juist uitspraken aan:
   • Een convergente rij is begrensd.
   • Een stijgende rij is begrensd.
   • Een begrensde rij heeft een stijgende deelrij.

Vraag 23

Beschouw $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\to x{e}^{-x}$

1. Geef de Maclaurinveelterm van graad 7 voor f. Geef ook een uitdrukking voor de restterm.
2. Geef de Maclaurinreeks van f.
3. Bepaal een veelterm die op het interval [0,1] minder dan $10^{-2}$ verschilt van f.

Vraag 24

Vind het maximum en het minimum van de functie $f(x,y,z)=2x+y+3z$ onder de voorwaarde $x^2+4y^2+9z^2=1$.

Vraag 25

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(a_n)$.
2. Bewijs met behulp vande definitie dat een dalende rij die naar onder begrensd is, convergent is.
3. Kruis alle juiste uitspraken aan:
   • Een convergente rij is begrensd.
   • Als $(a_n)$ en $(c_n)$ convergente rijen zijn met $\lim a_n=\lim c_n=L$, en $(b_n)$ is een rij met $\mathrm{\forall }N\in \mathbb{\mathbb{N}}:\mathrm{\exists }n\ge N:a_n\le b_n\le c_n$, dan is ook de rij $(b_n)$ convergent en $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=L$.
   • Een rij $(a_n)$ waarvoor geldt dat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$, is convergent.

Vraag 26

1. Bespreek de transformatiestelling voor het berekenen van dubbele integralen. Leg daarbij in ieder geval goed uit wat de rol van de Jacobiaan is.
2. Behandel als speciaal geval de transformatie $(x,y)\to (u,v)$ met x=u+v en y=u-v toegepast op de integraal $\int \underset{D}{\int }\frac{x-y}{x+y}dxdy$ waarbij D de driehoek is met als hoekpunten (0,0), (1,-1) en (1,1).

Vraag 27

1. Onderzoek voor welk $p\in \mathbb{ℝ}$ de reeks $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(k+1{)}^p}$ convergent is.
2. Bereken de Maclaurinreeks voor de functie $\sqrt{1+x^2}$.
3. Bepaal alle $x\in \mathbb{ℝ}$ waarvoor de reeks uit (b) convergeert.

Vraag 28

1. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking $6x^{\prime }(t)=x(6-x)$.
2. Schets de grafiek van de oplossing die voldoet aan x(0) = 2.
3. Bereken de limieten $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x(t)$ en $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(t)$.