Meetkunde II

Wie al eens examen meetkunde heeft gehad weet waaraan zich te verwachten: een uitputtingsstrijd die gemakkelijk een achttal uur kan duren, met een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen.

Examens

2006-06-19

Theorie

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in. Bespreek het geval dat P een dubbelpunt is grondig.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$.
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorvold. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t_0)=-S({\alpha }^{\prime }(t_0))$.
   3. Zij $w\in T_{p}M$ een raakvector met $||w||=1$ en zij H het vlak door p, opgespannen door $\xi (u_0,v_0)$ en w. Dan snijdt H het oppervlak M in de omgeving van p in een kromme. Stel dat $\alpha :I\to M$ een booglengteparametrisatie is van deze kromme, dus $\alpha (I)\subseteq M\cap H$ en stel dat $p=\alpha (t_0)$ en $w={\alpha }^{\prime }(t_0)$. Toon aan dat de normale kromming in de richting van w gegeven is door $k(w)=ϵ\kappa (t_0)$ waarbij $\kappa$ de kromming is van $\alpha$, $ϵ=\pm 1$, in het bijzonder is $ϵ=1$ als $\xi (t_0)=N(t_0)$ en $ϵ=-1$ als $\xi (t_0)=-N(t_0)$, met N het hoofdnormaalveld van α.
   4. Interpreteer dit resultaat. Geef in het bijzonder commentaar over de normale kromming van minimale oppervlakken.

Oefeningen

1. Elke projectieve transformatie $\phi :\mathbb{ℝ}{P}^{2006}\to \mathbb{ℝ}{P}^{2006}$ heeft minstens 1 vast punt. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Zij $P^n$ een projectieve ruimte. Bewijs de volgende uitspraken (die we in de oefenzittingen gebruikt hebben):
   1. De doorsnede van 2 lineaire systemen in $P^n$ is opnieuw een lineair systeem, met als as de som van de assen van de oorspronkelijke lineare systemen.
   2. De som van 2 lineaire systemen in $P^n$ (gedefinieerd door de som van de overeenkomstige projectieve deelruimten van de duale ruimte te nemen) is opnieuw een lineair systeem, met als as de doorsnede van de assen van de oorspronkelijke lineaire systemen.
3. 1. Zij $m\ne 0$ een natuurlijk getal. Argumenteer dat de verzameling van alle algebraïsche krommen van graad m in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ de structuur heeft van een projectieve ruimte. Schrijf de dimensie van deze ruimte in functie van m.
   2. Noteer met $E_0,E_1,E_2,\bar{E}$ de standaard projectieve ijk in $\mathbb{ℂ}{P}^2$. Toon aan dat de verzameling van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ door $E_0,E_1$ en $E_2$, met keerpunten in $E_0$ en $E_1$ met respectievelijk keerraaklijnen $E_0\bar{E}$ en $E_1\bar{E}$, een projectieve deelruimte vormt van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ en bepaal haar dimensie.
4. In ${\mathbb{𝔼}}^2$ is een niet-ontaarde parabool P gegeven met daarop 3 onderscheiden punten $X_1,X_2,X_3$. Toon aan dat de normalen op P in $X_1,X_2$ en $X_3$ concurrent zijn als en slechts als het zwaartepunt van de driehoek $\mathrm{△}{X}_1{X}_2{X}_3$ op de as van P ligt.
   Hint: kies een geschikte Euclidische ijk en werk met een rationele parametervoorstelling voor P.
5. Zij M het oppervlak in ${\mathbb{𝔼}}^3$ met vergelijking $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$
   1. Bereken de gemiddelde kromming H en de Gausskromming K van M.
   2. Bereken $\underset{p\in M}{\inf }H$ en $\underset{p\in M}{\sup }H$. Worden infimum en supremum bereikt? Zo ja, in welk punt?