Bewijzen en Redeneren

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Arno Kuijlaars

Bewijzen en Redeneren is een wiskunde vak in het eerste semester van de eerste Bachelor Wiskunde. De nadruk ligt vooral op het leren correct opstellen van een bewijs maar ook wordt hier een abstracte manier van denken aangeleerd.

2007-01-15

Bij dit examen stond elke vraag op 10 punten.

1. • Zoals bekend is P(X) de machtsverzameling van X.
   • a) Geef alle elementen van P(P(X)) als X={0} en als X=$\mathrm{\varnothing }$
   • b) Zij X een verzameling met |X|=n. Tel het aantal funties f: X$\to$P(X) dat voldoet aan $\mathrm{\forall }x\in X:x\in f(X)$ en ligt uw antwoord toe (N.B. een formeel bewijs wordt niet gevraagd.
   • c) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling X waar of niet? $(\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(x\in A))\Rightarrow (\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in X:x\in A))$. Bewijs dit of geef een tegenvoorbeeld.
2. • Zij X een verzameling. Met Fun(X,X) noteren we de verzameling van alle functies f: X$\to$X. Zij R de relatie op Fun(X,X) door (f,g)$\in R\iff \mathrm{\exists }$ een bijectieve $\sigma :\sigma of=g$
   • a) Bewijs dat R een equivalentierelatie op Fun(X,X) is.
   • b) Hoeveel equivalentieklassen van R zijn er als |X|=3? Geef van elke equivalentieklasse 1 element.
3. • Zij f:X $\to$X een functie
   • a) bewijs dat $\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))\subset B$
   • b) De gelijkheid in a) is niet altijd waar, geef hiervoor een tegenvoorbeeld.
   • c) Bewijs: $(\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))=B)\iff$ f is surjectief
4. • Zij $f:\mathbb{ℝ}a\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door f(x)=$\frac{1}{(x-a{)}^2}$ met a>0 een vast strikt positief reëel getal. Bewijs met de $ϵ-\delta$ definitie dat f continu is in x*=0.