Wiskundige methoden in de natuurkunde

Algemeen

Dit vak heeft een structuur die vreselijk ingewikkeld is, maar dat is nog niets vergeleken met de te kennen inhoud. Het vak bestaat uit verschillende modules, waarvan er drie gekozen en afgelegd moeten worden. Eén is er verplicht: Discrete symmetrieën van professor Fannes. Deze module gaat eigenlijk over lineaire algebra (tensorproduct) en groepenleer en is niet zo simpel.

Dit jaar werden voor de rest nog de modules Markovprocessen en Complexe analyse (potentiaaltheorie in 2D) gegeven door respectievelijk prof. Maes en prof. Van Proeyen. Volgend jaar komen er nog diverse andere modules bij.

Het examen is een strijd tegen de klok; het is schriftelijk en bestond dit jaar uit 10 vragen. Elke module krijgt een gelijk gewicht. Het examen is (gelukkig maar) volledig open boek.

Examens

Vragen Discrete Symmetrieën

Vraag 1

Bekijk de groep A4, dit is de groep van de even permutaties van 4 elementen. (Meer info was gegeven maar omdat ik geen zin heb om deze over te schrijven verwijs ik naar http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group). Deze groep is te bekijken als transformaties van een regelmatig tetraëder.

Met welke transformatie komt (123) overeen? En (12)(34)?

De toevoegingsklassen zijn de volgende: C1 = {e}

C2 = {(123), (142), (134), (243)}

C3 = {(132), (124), (143), (234)}

C4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}

Zie je een verschil tussen de elementen van C2 en C3? Stel de karaktertabel van A4 op. Gegeven is dat de eerste drie elementen op de eerste rij alledrie 1 zijn. Verder zijn de eerste drie elementen van de tweede kolom 1, w, w²; met $w=\exp (2\pi i/3)$

Permutaties zoals (1234) of (12) (die wel in S4 zitten maar niet in A4) komen ook overeen met rigide transformaties van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zie je een meetkundig verschil met deze uit A4?

Vraag 2

We definiëren volgend scalair product op de complexe matrices van dimensie n:

$<A,B>:=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Tr</mrow>}A*B$

Toon aan dat dit inderdaad een scalair product is.

Neem U een unitaire representatie van een groep G in de complexe matrices van dimensie n. Toon aan dat $g\in G\to \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ad</mrow>}(U(g))$ een unitaire representatie is van G op de matrices met scalair product van hierboven. Hierbij is $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ad</mrow>}(U(g))(A)=U(g)A(U(g))*$ voor $A\in M_n$

Kan je een verband vinden tussen het karakter van U en Ad(U)?

Noot: deze representaties worden gebruikt om evolutie en symmetrieën te beschrijven voor kwantumsystemen in het Heisenbergbeeld.

Vragen Markovketens

Vraag 1

Bewijs dat een Markovproces op een een toestandruimte met 2 elementen altijd voldoet aan de voorwaarde van detailled balance. Neem het geval van continue tijd. (PRECISEER zeker wat je gaat bewijzen)

Vraag 2

Beschouw het markovproces met $K=\{+1,-1{\}}^2$ waarin voor $\sigma ,\eta \in K$ geldt $p(\sigma ,\eta )=e^{-4{\sigma }_1{\sigma }_2}$ indien $\sigma =({\sigma }_1,{\sigma }_2)=({\eta }_1,-{\eta }_2)$ of $\sigma =({\sigma }_1,{\sigma }_2)=(-{\eta }_1,{\eta }_2)$. In alle andere gevallen is de kans op overgang nul.

Bepaal de stationaire verdeling. (Tip: Denk aan Glauberproces)

Vraag 3

We beschouwen het volgende Markovproces (Xt). Er is continue tijd en de toestandruimte is K = {0,1}. De overgangsintensiteiten worden bepaald door reële paramters a en h:

$p(0,1)=e^{-a}p(1,0)=e^{a-h}$

We kiezen $X_0=1$. Bereken de verwachtingswaarde van $e^{3X_t}$ als functie van a en h.