Kwantummechanica

Inleiding

Dit vak wordt door professor Indekeu aan 3e bach gegeven. Het examen is een ware uitputtingsslag. Alhoewel prof. Indekeu zelf hoopte dat het examen op 4.5 uur voorbij zou zijn, maar de eerste persoon was pas na 5.5 uur buiten... De prof zelf laat niet meteen merken of iets goed of slecht is, maar stelt redelijk veel bijvragen.

Het is belangrijk dat je alle details goed kent, want professor Indekeu vraagt op zijn examen achter details. Zo zal zijn vraag nooit enkel gaan over de pagina waar de index van het boek naar verwijst, maar ook over twee zinnen die in een totaal ander hoofdstuk staan maar er toch verband mee houden. Denk dus ver genoeg na en blijf niet op één denkpiste steken.

Over zijn ondervragingsstijl: professor Indekeu wilt dat het snel vooruit gaat. Hij leest wat je geschreven hebt heel vluchtig door om daarna een paar vragen te stellen. Je moet dus geen uiteenzettingen houden, alleen (liefst kort en krachtige) antwoorden op zijn vragen geven.

Het voordeel bij dit alles is dat professor Indekeu zeer vlot punten geeft. Prof. Indekeu sleurt tijdens het mondeling ook alles wat je weet nog uit je, zodat de punten meestal (veel) beter uitvielen dan verwacht.

Examenvragen

eerste reeks 2006-2007

Theorie

1. Verklaar de stabiliteit van de materie op 2 verschillende manieren.
2. Opmerking 5, pagina 15: waarom staat hier in general? Verklaar deze affects op een meer preciese manier.
3. Vergelijk periodische randvoorwaarden met gesloten (dit is bij oneindige putten) randvoorwaarden. Geef voor en nadelen
4. Waarom zijn er bij l = n - 1 geen knopen (bij het H-atoom). Interpreteer.
5. In de berekening aan het einde van hoofdstuk 15 staat een berekening voor -µ.B te berekenen. Daarin staat L = r x p, is dit wel correct want er geldt toch niet meer p = mv?

Oefeningen

1. Zij a = (0,x,y) en b = (p_x,0,0). Kwantiseer a, b en a x b (het is gewoon de bedoeling de bijbehorende operator te construeren).
2. Dubbele put met twee elektronen erin. Geef kwalitatief de mogelijke eigenfuncties en de energieniveaus. (Dus geen expliciete berekeningen, gewoon beetje in symbolen weergeven en de energieniveaus op een ladder zetten) Is er interactie (expliciet, impliciet?).

tweede reeks 2006-2007

Theorie

1. Schat \delta x en E_0 voor de harmonische oscillator in één dimensie. Gebruik hiervoor de onzekerheidsrelaties. Vergelijk met de exacte uitkomsten.
2. Potentiaalstap met E > V_0, maar deeltjes komen van op de stap en gaan richting val. Bereken reflectie en transmissie coëfficienten. Beschouw V_0 -> oneindig.
3. Gezever over Brouillinzones: heel moeilijk ;).

Oefeningen

1. Beschouw de ééndimensionale harmonische oscillator. a) Hoe zou je toestanden kunnen krijgen die oscillaties geven voor <X>(t). b) en een breathing mode?
2. Variatie op oefening 6.1 uit het boek.

derde reeks 2006-2007

Theorie

1. (3ptn) Beschouw een vierkante dubbele potentiaalput zoals op figuur 4.7b. Bereken en teken de grondtoestand voor het hypothetische geval E=V_0. Wat is de voorwaarde opdat er bij deze E een oplossing bestaat? Schets ook de eerste aangeslagen toestand, indien deze exact E=V_0 zou hebben.
2. (2ptn) Een resonantieverschijnsel kan begrepen worden in termen van drie frequenties. Geef de oorsprong, betekenis en rol van deze frequenties in een fysisch voorbeeld.
3. (3ptn) Geef twee voorbeelden, één microscopisch en één macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin- en ruimtevariabelen.
4. (2ptn) Werk uit: d<R>/dt=... door gebruik te maken van de Hamiltoniaan van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld.
5. (2ptn) Beschouw de dichtheidsoperator van een systeem beschreven in het canonisch ensemble:

• Geef de uitdrukking voor de gemiddelde energie <H>=...

• Druk de dichtheidsoperator uit in termen van de dichtheidsoperatoren van de zuiveren toestanden $|{\phi }_n⟩$, met $H|{\phi }_n⟩=E_n|{\phi }_n⟩$ (geen ontaarding).

Oefening (8ptn)

"Variatierekening"

Gegeven $H|{\phi }_n⟩=E_n|{\phi }_n⟩$, $E_0<E_1<\cdots$ (geen ontaarding)

$⟨H{⟩}_{\psi }=\frac{⟨\psi |H|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}\ge E_0$ met $⟨H{⟩}_{\psi }$ de verwachtingswaarde en $|\psi ⟩$ een willekeurige toestand.

Beschouw nu de ééndimensionale harmonische oscillator,

$⟨x|H|\psi ⟩=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)\psi (x)$

en tracht de grondtoestandsenergie te benaderen door het minimum te zoeken van $|\psi ⟩$ binnen de klasse van toestanden ${\psi }_{\alpha }(x)=e^{-\alpha x^2}$, als functie van $\alpha \in \mathbb{ℝ}$.

Interpreteer de gevonden energie en toestand.

Tip. Gebruik $1=\int dx|x⟩⟨x|$ bij uitwerking van $⟨\psi |H|\psi ⟩$.

eerste reeks 2005-2006

1. (niet meer relevant) Bespreek fotoelectrisch effect aan de hand van volgende gegevens (-> gegeven: 2 golflengten en hun Ek(max)) Bereken de maximale golflengte, de werkfunctie en de constante van Planck.
2. Stel A en B fysische grootheden. Dan is D(A)*D(B)>=alfa Geef 4 voorbeelden (o.a. wanneer tijdsafhankelijke alfa, of alfa=0) Wat is de rol van de toestandsvector?
3. Geef de eigenwaarden van S²=S*S (S is spin). geef ook de gemeenschappelijke basis met Sy
4. Hamiltoniaan H heeft eigenwaarden E0<=E1<=...<=En Stel zijn gemiddelde is <H>=<f|H|f>/<f|f> (f is toestand) Toon aan dat <H> >=E0 -Harmonische oscilator: <x|H|f>=(-h'²/2m*d²/dx²+mw²x²/2)f(x) Kies f in de klasse f(x)=e^(-a*x²) Bereken het minimum van <H> in functie van a en bespreek.

tweede reeks 2005-2006

Theorie:

1. Wat bedoelt men met spin-baan koppeling? Hoe beïnvloedt dat de energieniveaus in het H atoom?
2. Een bundel neutrale spin-1/2 deeltjes met magnetisch moment m en snelheid v=(v_x,0,0) wordt onderworpen aan een magnetisch veld B=(B_0+B'z)e_z. Bereken de opsplitsing van de bundel als het magnetisch moment over afstand L actief is.

Oefeniningen:

1. Beschouw spin-1/2 systeem. Wat zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van s_x+s_y? Stel dat de meting de hoogste waarde in s_x+s_y oplevert, wat is dan de kans dat je bij meting s_z bij +h/2 terechtkomt?
2. (niet meer relevant) Beschouw een H atoom en stel dat het proton in plaats van een puntbron voor het Coulombveld te zijn, een uniform geladen sfeer met straal R is. De Coulomb potential wordt dan vervangen door: V(r)=-3/2*e^(2)/R^(3)*(R^(2)-1/3*r^(2)) als r<R<<a_0 V(r)=-e^(2)/r als r>R met a_0 de Bohrse straal. Gebrik stoornisrekenen om de correctie van de energie te wijzigen in het grond niveau. Hoeveel eV is dit als R=10^(-13)cm ?