|
|
| Regel 1: |
Regel 1: |
| Examen 25 januari eerste zit 2007-2008 | | Examen 25 januari eerste zit 2007-2008 |
|
| |
|
| == Eerste zit 2007-2008 == | | == Eerste zit examen 25 januari 2008 == |
| === examen 25 januari 2008 ===
| |
|
| |
|
| === Oefening 1 === | | === Oefening 1 === |
| | (mondeling) Geef in eigen bewoordingen een presentatie van stelling 32.1 in het handboek (p200) en leg het bewijs ervan mondeling uit. Toon aan dat een gesloten deelverzameling van een Lindelöf ruimte, als deelruimte ook Lindelöf is. Kun je, met dit resultaat en met het inzicht in het bewijs van stelling 32.1, nu ook aantonen dat een reguliere ruimte die Lindelöf is, ook normaal is? |
| | |
|
| |
|
| Zij <math>L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)</math>. | | Zij <math>L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)</math>. |
|
| |
| a) Is <math>L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)</math>? Bepaal een minimale veelterm van <math>\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i</math> over <math>\mathbb Q</math>.
| |
|
| |
| b) Bepaal <math>G(L,\mathbb Q)</math> en <math>L_{G(L,\mathbb Q)}</math>. Met welke groep is <math>G(L,\mathbb Q)</math> isomorf?
| |
|
| |
| === Oefening 2 ===
| |
|
| |
| Zij <math>F\subset K</math> velden en <math>K</math> een eindige separabele uitbreiding van <math>F</math>. Toon aan:
| |
|
| |
| <math>K</math> is normaal over <math>F\Leftrightarrow</math> voor elke velduitbreiding <math>L</math> van <math>K</math> en elk ringmorfisme <math>\sigma : K \rightarrow L</math> met <math>\sigma |_F=Id_F</math> geldt: <math>\sigma(K)\subset K</math>.
| |
|
| |
| == Tweede zit 1999-2000 ==
| |
|
| |
|
| |
| === Oefening 1 ===
| |
|
| |
| b) Waar of niet waar? Zij <math>K\subset L</math> velden en <math>a,b\in L</math> met dezelfde minimale veelterm <math>f(x)</math> over <math>K</math>. Veronderstel dat <math>L</math> een eindige normale uitbreiding is over <math>K</math>. Dan bestaat er een <math>\sigma\in G(L:K)</math> zodat <math>\sigma(a)=b</math>.
| |
|
| |
| === Oefening 2 ===
| |
|
| |
| Zij <math>E</math> een eindige normale uitbreiding van <math>\mathbb Q</math>, met Galoisgroep <math>G(E:\mathbb Q)\cong\mathbb Z_4,+</math>.
| |
|
| |
| a) Bewijs dat er <math>a,b\in\mathbb Z</math> bestaan zodat <math>E=\mathbb Q(\sqrt{a+\sqrt{b}})</math>.
| |
|
| |
| b) Geef de stabiele velden t.o.v. <math>E</math> en <math>\mathbb Q</math>.
| |
|
| |
| === Oefening 3 ===
| |
|
| |
| Geef een basis van de vectorruimte <math>\mathbb Q(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})</math> over het veld <math>\mathbb Q(\sqrt{3})</math>.
| |
|
| |
| == Eerste zit 2001-02 ==
| |
|
| |
| === Oefening 1 ===
| |
|
| |
| Zij <math>K</math> een eindige uitbreiding van het veld <math>\mathbb Q</math>. zij <math>g(x_1,\ldots,x_n)</math> een niet nul veelterm over <math>K</math>. Zij <math>A</math> een deelverzameling van <math>\mathbb Q^n</math> en veronderstel dat <math>g</math> nul is op elk element van <math>A</math>. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm <math>h(x_1,\ldots,x_n)</math> over <math>\mathbb Q</math> te construeren die nul is op elk element van <math>A</math>.
| |
|
| |
| == Eerste zit 2002-03 ==
| |
|
| |
| === Oefening 1 ===
| |
|
| |
| Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)
| |
|
| |
| a) Zij <math>K\subset L</math> een velduitbreiding van graad 2. Dan is <math>L</math> normaal over <math>K</math>.
| |
|
| |
| b) Zij <math>L=K(\alpha)</math>. als de uitbreidingsgraad <math>[L:K]</math> oneven is, dan is <math>L=K(\alpha^2)</math>.
| |
|
| |
| === Oefening 2 ===
| |
|
| |
| Zij <math>p\neq 2</math> priem, en zij <math>\xi</math> een complexe primitieve <math>p</math>-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep <math>G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)</math> isomorf met de multiplicatieve groep <math>\mathbb Z^\times_p</math>. Zij <math>\chi</math> het unieke niet-triviale groepsmorfisme van <math>\mathbb{Z}^\times_p</math> naar {1,-1},. en stel <math>\alpha</math> gelijk aan <math>\sum^{p-1}_{s=1}\chi(s)\xi^s</math>.
| |
|
| |
| a) toon aan dat er een uniek deelveld <math>K</math> van <math>\mathbb Q(\xi)</math> bestaat met uitbreidingsgraad 2 over <math>\mathbb Q</math>.
| |
|
| |
| b) Fixeer een isomorfisme <math>\psi : G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)\rightarrow\mathbb Z^\times_p</math>. Bewijs dat, voor elk automorfisme <math>\sigma\in G(\mathbb Q(\xi),\mathbb Q)</math>, het beeld van <math>\alpha</math> onder <math>\sigma</math> gelijk is aan <math>(\chi\circ\psi)(\sigma)</math> maal <math>\alpha</math>.
| |
|
| |
| c) toon aan dat <math>K=\mathbb Q(\alpha)</math>.
| |
|
| |
| [[Categorie:3bw]]
| |
Examen 25 januari eerste zit 2007-2008
Eerste zit examen 25 januari 2008
Oefening 1
(mondeling) Geef in eigen bewoordingen een presentatie van stelling 32.1 in het handboek (p200) en leg het bewijs ervan mondeling uit. Toon aan dat een gesloten deelverzameling van een Lindelöf ruimte, als deelruimte ook Lindelöf is. Kun je, met dit resultaat en met het inzicht in het bewijs van stelling 32.1, nu ook aantonen dat een reguliere ruimte die Lindelöf is, ook normaal is?
Zij .