Algebra II: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1: Regel 1:
== Eerste zit 2007-2008 ==
Er is ook een practicum in Maple dat voor 2 van de 20 punten telt.
=== Vraag 1 ===
In de definitie (in de cursustekst) van het radicaal Rad(J) van een ideaal J in een commutatieve ring R wordt beweerd dat Rad(J) ook een ideaal is van R. Geef hiervoor een bewijs.
=== Vraag 2 ===
Waar of fout? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
*Zij <math>n \geq 2</math> even. Dan bestaat er een veelterm van graad <math>n</math> over <math>\mathbb{Q}</math> met <math>n</math> verschillende wortels, zodat de Galoisgroep van deze veelterm (over <math>\mathbb{Q}</math>) isomorf is met <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+</math>.
*Zijn <math>F \subseteq E_1 \subseteq E_2</math> eindige velduitbreidingen. Indien <math>\Gamma\left(E_1:F\right) \cong \Gamma\left(E_2 : F\right)</math>, dan is <math>E_1 = E_2</math>.
=== Vraag 3 ===
Zij <math>n \geq 1</math> een geheel getal. Zij <math>\omega</math> een primitieve <math>n</math>-de eenheidswortel in <math>\mathbb{C}</math>. Zij K een deelveld van <math>\mathbb{C}</math> dat <math>\omega</math> bevat. Zij <math>a \in \mathbb{Z}</math> en zij <math>b</math> een wortel van <math>X^n - a</math> in <math>\mathbb{C}</math>.
*Bewijs dat <math>\Gamma(K(b) : K)</math> isomorf is met <math>\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}</math>, waarbij <math>d </math> een deler is van <math>n</math>.
*Bewijs dat <math>b^d \in K</math>.
*Stel dat <math>X^n - a</math> irreducibel is over <math>K</math>. Bewijs dat <math>\Gamma(K(b) : K)</math> isomorf is met <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>
=== Vraag 4 ===
Bepaal de Galoisgroep van <math>X^3 - 5</math> over
*<math>\mathbb{Q}</math>
*<math>\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{5}\right)</math>
*<math>\mathbb{Q}\left(\sqrt{3}i\right)</math>
=== Vraag 5 ===
*Beschouw <math>I = \langle xy + y, xy + 2y - x \rangle \subseteq \mathbb{C}[x,y]</math>. Bepaal een Gröbnerbasis voor I t.o.v. de grlex-orde.  Geef een basis voor <math>\mathbb{C}[x,y]/I</math> als vectorruimte over <math>\mathbb{C}</math>.
*Zij <math>I</math> een ideaal in <math>\mathbb{C}\left[x_1,x_2,\,\cdots,x_n\right]</math>. Construeer een basis voor <math>\mathbb{C}\left[x_1,x_2,\,\cdots,x_n\right]/I</math> en bewijs je antwoord.
== Eerste zit 2006-2007 ==
== Eerste zit 2006-2007 ==



Versie van 28 jan 2008 22:22

Eerste zit 2007-2008

Er is ook een practicum in Maple dat voor 2 van de 20 punten telt.

Vraag 1

In de definitie (in de cursustekst) van het radicaal Rad(J) van een ideaal J in een commutatieve ring R wordt beweerd dat Rad(J) ook een ideaal is van R. Geef hiervoor een bewijs.

Vraag 2

Waar of fout? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

  • Zij n2 even. Dan bestaat er een veelterm van graad n over met n verschillende wortels, zodat de Galoisgroep van deze veelterm (over ) isomorf is met /2,+.
  • Zijn FE1E2 eindige velduitbreidingen. Indien Γ(E1:F)Γ(E2:F), dan is E1=E2.

Vraag 3

Zij n1 een geheel getal. Zij ω een primitieve n-de eenheidswortel in . Zij K een deelveld van dat ω bevat. Zij a en zij b een wortel van Xna in .

  • Bewijs dat Γ(K(b):K) isomorf is met /d, waarbij d een deler is van n.
  • Bewijs dat bdK.
  • Stel dat Xna irreducibel is over K. Bewijs dat Γ(K(b):K) isomorf is met /n

Vraag 4

Bepaal de Galoisgroep van X35 over

  • (53)
  • (3i)

Vraag 5

  • Beschouw I=xy+y,xy+2yx[x,y]. Bepaal een Gröbnerbasis voor I t.o.v. de grlex-orde. Geef een basis voor [x,y]/I als vectorruimte over .
  • Zij I een ideaal in [x1,x2,,xn]. Construeer een basis voor [x1,x2,,xn]/I en bewijs je antwoord.

Eerste zit 2006-2007

Waarom zet niemand de vragen online? Bij deze staan ze online... Media:Ex_algebra_3BA_jan07.pdf‎

Eerste zit 1999-2000

Oefening 1

Zij L=(23,3i).

a) Is L=(233i)? Bepaal een minimale veelterm van 233i over .

b) Bepaal G(L,) en LG(L,). Met welke groep is G(L,) isomorf?

Oefening 2

Zij FK velden en K een eindige separabele uitbreiding van F. Toon aan:

K is normaal over F voor elke velduitbreiding L van K en elk ringmorfisme σ:KL met σ|F=IdF geldt: σ(K)K.

Tweede zit 1999-2000

Oefening 1

b) Waar of niet waar? Zij KL velden en a,bL met dezelfde minimale veelterm f(x) over K. Veronderstel dat L een eindige normale uitbreiding is over K. Dan bestaat er een σG(L:K) zodat σ(a)=b.

Oefening 2

Zij E een eindige normale uitbreiding van , met Galoisgroep G(E:)4,+.

a) Bewijs dat er a,b bestaan zodat E=(a+b).

b) Geef de stabiele velden t.o.v. E en .

Oefening 3

Geef een basis van de vectorruimte (1+53,34) over het veld (3).

Eerste zit 2001-02

Oefening 1

Zij K een eindige uitbreiding van het veld . zij g(x1,,xn) een niet nul veelterm over K. Zij A een deelverzameling van n en veronderstel dat g nul is op elk element van A. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm h(x1,,xn) over te construeren die nul is op elk element van A.

Eerste zit 2002-03

Oefening 1

Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)

a) Zij KL een velduitbreiding van graad 2. Dan is L normaal over K.

b) Zij L=K(α). als de uitbreidingsgraad [L:K] oneven is, dan is L=K(α2).

Oefening 2

Zij p2 priem, en zij ξ een complexe primitieve p-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep G((ξ),) isomorf met de multiplicatieve groep p×. Zij χ het unieke niet-triviale groepsmorfisme van p× naar {1,-1}, en stel α=s=1p1χ(s)ξs.

a) toon aan dat er een uniek deelveld K van (ξ) bestaat met uitbreidingsgraad 2 over .

b) Fixeer een isomorfisme ψ:G((ξ),)p×. Bewijs dat, voor elk automorfisme σG((ξ),), het beeld van α onder σ gelijk is aan (χψ)(σ) maal α.

c) toon aan dat K=(α).