Computergesteund probleemoplossen in de natuurkunde

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Cools. Belangrijk voor Cools is het echt snappen van wat je doet en wat de problemen zijn die er opduiken, hoe je iets programmeert is niet zo belangrijk.

Vragen 2005

• Leg stabiliteit uit aan de hand van partiële differentiaalvergelijkingen.
• Bereken oppervlakte tussen tanh(x) en x²/4 in Maple Maak dan in Matlab een Monte Carlo simulatie aan de hand van verscheidene aantallen punten en bereken de fout tussen MC en de uitkomst in Maple. bepaal zo de orde van convergentie.
• $x_{n+1}=x_n\frac{x_n^2+3a}{3x_n^2+a}$ (recursie) Toon aan dat deze $\sqrt{a}$ berekent bij juiste keuze van a(0). Kies voor a een eenvoudig getal (bijvoorbeeld 2) en laat dit algoritme lopen. Bepaal de orde van convergentie.
• Hidden bit: wat is het en geef voor en nadeel.
• Een PC heeft 1 seconde nodig om een stelsel 100x100 op te lossen. Hoeveel tijd heeft ie nodig voor een stelsel 10000x10000 op te lossen en hoeveel geheugen?

Opmerking: Dat jaar stond hoofdstuk 9, toevalsgeneratoren, nog niet op het programma!

Eerste zit 2006

19 juni voormiddag

1. Bespreek in ten hoogste 2 bladzijden de diverse Euler-methodes die we in de les gezien hebben, voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. De volgende sleutelwoorden worden in je tekst alvast verwacht: impliciet, expliciet, orde, stabiel.
2. benader de exponentiële functie met een matlab-programma. Doe dit door een taylorreeks rond x=0 op te stellen. Dit moet je dan benaderen in x=-20,0 en 20. Wat zijn de resultaten. Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit. Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren.
3. Stel a is een dubbel nulpunt van de functie f(x)=0. Beschouw de gewijzigde newton-methode $x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$. Laat nu zien dat deze minstens kwadratisch convergeert, als deze convergeert.
4. Wat is het verschil tussen genormaliseerde en niet-genormaliseerde getallen? Waarom maakt men dit onderscheid?
5. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waar de stapgrootte is uitgezet in functie van de fout.

26 juni voormiddag

1. Bespreek methoden om niet lineaire vergelijkingen op te lossen. Belangrijk hierbij zijn de grafische interpretatie en ordes van covergeren. Waarom zijn deze technieken essentieel in het kader van de cursus?
2. Bereken in Maple de oppervlakte ingesloten tussen 6.tanh(x) en $e^x-1$ (voor positieve x-en). Zoek de rechte met vergelijking x = t, die deze oppervlakte in 2 deelt.
3. Benader in Matlab de functie sin(x) met een Taylorreeks rond nul. Laat deze reeks stoppen wanneer de volgende term relatief gezien bijna niets meer bijdraagt tot de reeks (je moet dus zelf kiezen wat relatief is!). Evalueer deze reeks minstens in x=0, x=20 en x=40. Wat merk je? Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit? Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren?
4. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waarhet aantal stappen is uitgezet in functie van de fout?
5. Bespreek de conditie bij het oplossen van een stelsel (zowel overgedetermineerd als oplosbaar).

Eerste zit 2008

13 juni voormiddag

1. Bespreek methoden om een generator te maken voor niet-uniforme continue verdelingen en geef naast de theorie ook specifieke voorbeelden, geef ook voordelen en nadelen (kost, beperkingen, efficiëntie, ...). Verder moest je ook nog de eigenschappen geven waaraan een goede generator moet voldoen.
2. Je hebt een windmolen van 100m hoog met spaken van 12,5m lang. Ze draaien wijzerszin met een hoeksnelheid van 2 rad per seconden. Wanneer een van deze spaken een hoek alfa maakt met de horizontale (rechts van de paal), dan breekt hij af aan de as. En is hij onderworpen aan de wetten van Newton zonder luchtwrijving: $\frac{{\partial }^{2}x}{\partial t^2}=0;\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=-g.$ Bepaal met Maple de baan van het massacentrum van de spaak en bepaal waar deze de grond raakt in functie van de hoek alfa.
3. Je hebt een jagerprooi model gegeven door x'(t) = x(x-0.2)(1-x) - xy , y'(t) = xy - 0.7y, Los deze differentiaalvergelijking op mbv matlab en bepaal door te kijken op de grafiek hoe hoog het populatiemaximum is van de prooien in de tijd.
4. Spreek over de conditie van lineaire stelsels, ook overgedetermineerde.

13 juni nammiddag

1. Bespreek numerieke methoden om niet lineaire vergelijkingen op te lossen. Belangrijk hierbij zijn de grafische interpretatie en ordes van covergeren. Waarom zijn deze technieken essentieel in het kader van de cursus?
2. zelfde vraag als vraag 2 van 13 juni, voormiddag
3. beschouw de functie $f(x)=\frac{1}{co{s}^2(x)}$ op het interval Is dit een kansdichtheid?

Indien niet: doe de nodige aanpassingen. Gebruik een transformatie om met matlab 10 000 punten te genereren volgens deze wdf. Teken histogrammen om te controleren.

1. Bespreek de acceptance-rejection methode voor het genereren van pseudo-willekeurige punten. Wat zijn de voor-en nadelen?