Kans en maat: verschil tussen versies

Versie van 17 jun 2008 07:05

Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur.

1) Beschouw $ℝ$ met de Borel sigma algebra. We definiÃƒÂ«ren $S : = \cap {G \subset ℝ | G gesloten, μ (G^{c}) = 0}$

Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
Toon aan dat in het algemeen geldt dat $μ (S^{c}) = 0$ . Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: $μ (E) = \sup {K \subset ℝ, K compact, K \subset E}$ . We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
Definieer de stijgende rechtscontinue functie $F$ zodanig dat $μ ((a, b]) = F (b) - F (a)$ . Bewijs dat $S = {x \in ℝ | \forall ε > 0 : F (x - ε) < F (x + ε)}$

2)

3) Zij $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat $X_{1} + X_{2}, X_{3}$ ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5)

@@ Regel 8: / Regel 8: @@
 * Toon aan dat in het algemeen geldt dat <math>\ \mu(S^c) = 0</math>. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: <math>\mu(E) = \sup\{K\subset \mathbb{R}, K \ \textrm{compact}\ ,\ K\subset E\}</math>. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
 * Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
-* Definieer de stijgende rechtscontinue functie <math>$F$</math> zodanig dat <math>\mu((a,b]) = F(b) - F(a)</math>. Bewijs dat <math>S = \{x\in \mathbb{R}\ | \ \forall \varepsilon > 0: F(x-\varepsilon) < F(x+ \varepsilon) \}</math>
+* Definieer de stijgende rechtscontinue functie <math>\ F</math> zodanig dat <math>\ \mu((a,b]) = F(b) - F(a)</math>. Bewijs dat <math>S = \{x\in \mathbb{R}\ | \ \forall \varepsilon > 0: F(x-\varepsilon) < F(x+ \varepsilon) \}</math>
 )