Kans en maat: verschil tussen versies
Naar navigatie springen
Naar zoeken springen
| Regel 4: | Regel 4: | ||
== maandag 16/06/08 == | == maandag 16/06/08 == | ||
1) Beschouw <math>\mathbb{R}</math> met de Borel sigma algebra. We definiëren <math>S:= \cap\{G \subset \mathbb{R} \ | \ G\ \textrm{ gesloten, }\ \mu(G^c) = 0\}</math> | 1) | ||
2) Beschouw <math>\mathbb{R}</math> met de Borel sigma algebra. We definiëren <math>S:= \cap\{G \subset \mathbb{R} \ | \ G\ \textrm{ gesloten, }\ \mu(G^c) = 0\}</math> | |||
* Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat | * Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat | ||
* Toon aan dat in het algemeen geldt dat <math>\ \mu(S^c) = 0</math>. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: <math>\mu(E) = \sup\{K\subset \mathbb{R}, K \ \textrm{compact}\ ,\ K\subset E\}</math>. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft. | * Toon aan dat in het algemeen geldt dat <math>\ \mu(S^c) = 0</math>. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: <math>\mu(E) = \sup\{K\subset \mathbb{R}, K \ \textrm{compact}\ ,\ K\subset E\}</math>. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft. | ||
* Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!). | * Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!). | ||
* Definieer de stijgende rechtscontinue functie <math>\ F</math> zodanig dat <math>\ \mu((a,b]) = F(b) - F(a)</math>. Bewijs dat <math>S = \{x\in \mathbb{R}\ | \ \forall \varepsilon > 0: F(x-\varepsilon) < F(x+ \varepsilon) \}</math> | * Definieer de stijgende rechtscontinue functie <math>\ F</math> zodanig dat <math>\ \mu((a,b]) = F(b) - F(a)</math>. Bewijs dat <math>S = \{x\in \mathbb{R}\ | \ \forall \varepsilon > 0: F(x-\varepsilon) < F(x+ \varepsilon) \}</math> | ||
3) Zij <math>X_1, X_2, X_3</math> onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat <math>X_1 + X_2, X_3</math> ook onafhankelijk zijn. | 3) Zij <math>X_1, X_2, X_3</math> onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat <math>X_1 + X_2, X_3</math> ook onafhankelijk zijn. | ||
| Regel 15: | Regel 16: | ||
4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn | 4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn | ||
5) | 5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie. | ||
Versie van 17 jun 2008 07:08
Inleiding
Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur. Zo goed als alle vragen zijn mondeling te verdedigen. In juni 2008 kregen we 5 a 6 uur tijd om het examen op te lossen.
maandag 16/06/08
1)
2) Beschouw met de Borel sigma algebra. We definiëren
- Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
- Toon aan dat in het algemeen geldt dat . Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: . We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
- Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
- Definieer de stijgende rechtscontinue functie zodanig dat . Bewijs dat
3) Zij onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat ook onafhankelijk zijn.
4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn
5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.