Kans en maat

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur. Zo goed als alle vragen zijn mondeling te verdedigen. In juni 2008 kregen we 5 a 6 uur tijd om het examen op te lossen.

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ een maatruimte. Zij voor alle n $f_n,f\in {\mathfrak{𝔏}}^1(\mathrm{\Omega },\mathfrak{𝔐},\mu )$ en veronderstel dat $||f_n-f|{|}_1\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. Definieer nu $E_n^{\delta }:=\{x\in \mathbb{ℝ}||f_n-f|(x)>\delta \}$

2) Beschouw $\mathbb{ℝ}$ met de Borel sigma algebra. We definiëren $S:=\cap \{G\subset \mathbb{ℝ}|G\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gesloten<mo>,</mo></mrow>}\mu (G^c)=0\}$

• Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
• Toon aan dat in het algemeen geldt dat $\mu (S^c)=0$. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: $\mu (E)=\sup \{K\subset \mathbb{ℝ},K\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">compact</mrow>},K\subset E\}$. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
• Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
• Definieer de stijgende rechtscontinue functie $F$ zodanig dat $\mu ((a,b])=F(b)-F(a)$. Bewijs dat $S=\{x\in \mathbb{ℝ}|\mathrm{\forall }\epsilon >0:F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )\}$

3) Zij $X_1,X_2,X_3$ onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat $X_1+X_2,X_3$ ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.