Commutative Algebra

Examen van Arne - 4 september 2008

Theorie

• Bewijs van stelling 2 op pagina 40 van deel 1, met een hoop bijvragen.
• Vanalles met nulmorfismen.
• Bewijs dat een functor met een linksadjuncte pullbacks bewaart.
• Een diagram chase ("the five lemma"), ter plaatse uit te voeren.

Oefeningen

• Waar of fout? Argumenteer.
  • Een projectieve, eindig voortgebrachte module over $\mathbb{ℂ}[X]$ is vrij.
  • De kern en het beeld van een R-module homomorfisme (met R een commutatieve ring) van een Noetherse R-module naar een willekeurige R-module zijn beide opnieuw Noetherse R-modulen.
• Zij $p$ een priemgetal. Elk rationaal getal $q$ kan uniek worden geschreven als $q=p^k\frac{a}{b}$, met $a,b$ geheel, onderling ondeelbaar en niet deelbaar door $p$. We schrijven $v_p(q)=k$. Stel ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{(p)}=\{x\in \mathbb{\mathbb{Q}}:v_p(x)\ge 0\}\cup \{0\}$.
  • Bewijs dat ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{(p)}$ een deelring is van $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
  • Bewijs dat ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{(p)}$ een Euclidisch domein is t.o.v. $v_p$.
  • Zij $M$ een eindig voortgebrachte ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{(p)}$-module. Bewijs dat er een $\ell$ bestaat zodat $p^{\ell }M$ een vrije ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{(p)}$-module is.
• Invariante factoren van $XI-C$, met $C$ een gegeven 3 x 3 - matrix, en Jordan normaalvorm van $C$.
• Een vreselijk lange en nogal moeilijke opgave over de link tussen nuldelers in een commutatieve ring en lange exacte cohomologierijen... Ik ben niet helemaal zeker dat ik alles juist formuleer maar ik doe mijn best. Zij $R$ een commutatieve ring en zij $x\in R$. In deze opgave zullen we $0$ bekijken als nuldeler (tegen alle conventies in).
  • Bekijk het complex $K(x)$ gegeven door $0\to R\to R\to 0$ met niet-triviale afbeelding $R\to R:r\mapsto rx$. Bewijs dat $H^0(K(x))=0$ als en slechts als $x$ geen nuldeler is in $R$.
  • Bekijk het complex $K(x,y)$ gegeven door $0\to R\to R\oplus R\to R\to 0$ met niet-triviale afbeeldingen $R\to R\oplus R:r\mapsto (ry,-rx)$ en $R\oplus R\to R:(s,t)\mapsto sx+ty$. Toon aan dat dit inderdaad een complex is en bewijs dat, als $x$ geen nuldeler is, $y$ geen nuldeler is in $R/xR$ als en slechts als $H^1(K(x,y))=0$.
  • Zij $K(x)[1]$ het complex dat je bekomt door $K(x)$ één plaats naar rechts te verschuiven. Bewijs dat er een exacte rij $0\to K(x)[1]\to K(x,y)\to K(x)\to 0$ bestaat van complexen, bepaal de geassocieerde lange cohomologierij van je exacte rij en bereken expliciet de connecterende homomorfismen.
  • Stel nu dat $R$ een lokale ring is met maximaal ideaal ${ℳ}$. Stel dat $y\in {ℳ}$ en dat $H^1(K(x,y))=0$. Bewijs dan dat $x$ geen nuldeler is in $R$. Je kan hiervoor het lemma van Nakayama gebruiken.