Meetkunde 1

Examens

18 januari 2008

Theorievragen:

1. Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^2$ en bespreek uitvoerig. Classificeer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de orientatiebewarende isometriëen (met bewijs).
2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde ruimtekrommen.

Oefeningen:

1. Gegeven twee rechten: $l_1$ voldoet aan $x+y-8z+6=0$ en $x+2y-13z+10=0$ terwijl $l_2$ voldoet aan $x-z+2=0$ en $y-6=0$.
   • Bewijs dat deze twee rechten kruisen
   • Geef de rechte met richting $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ die beide rechten snijdt.
   • Voor welke richtingen kan je zo een rechte construeren die $l_1$ en $l_2$ snijdt?
2. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^3\to {\mathbb{𝔼}}^3:\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}1-p_3\\ 1+p_2\\ 3-p_1\end{array}\right)$.
   • Welk type isometrie uit de classificatie is F?
   • Beschrijf deze isometrie volledig.
3. Gegeven is de krommingsfunctie $\kappa (s)$ van een kromme $\beta$ en 4 grafieken, je moet zeggen welke grafiek bij $\beta$ hoort en argumenteren.
4. Zij $\beta$ een booglengtegeparametriseerde kromme op het oppervlak van een sfeer die als middelpunt de oorsprong heeft en waarvoor geldt dat ${\kappa }^{\prime }\ne 0$. Bewijs dat $\beta (s)=\frac{-1}{\kappa (s)}N(s)+\frac{{\kappa }^{\prime }(s)}{(\kappa (s){)}^2\tau (s)}B(s)$

2007-06-11

Theorievragen:

1. Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^2$ en bespreek uitvoerig. Classificeer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de orientatiebewarende isometrieen.
2. Definieer cilinderschroeflijnen en cirkelschroeflijnen in ${\mathbb{𝔼}}^3$. Bespreek. Formuleer en bewijs de nodige en voldoende voorwaarde voor cilinderschroeflijnen in verband met de kromming en de torsie

Oefeningen:

1. Zij $l_1$ , $l_2$ en $l_3$ drie rechten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ concurrent in een punt $P$. Beschouw twee rechten $a$ en $b$ niet door $P$ en die alle $l_i$ snijden. We noemen $A_i=a\cap l_i$ en $B_i=b\cap l_i$. Bewijs dat $(A_1,A_2,A_3)=(B_1,B_2,B_3)$ asa $a\Vert b$
2. In ${\mathbb{𝔼}}^3$ de rechte $\ell \leftrightarrow x-y+3z=8\text{ en }x+y-7z=-10$. Toon aan dat er juist één $\mu$ is zodat $\ell$ loodrecht staat op het vlak $2x+\mu y+z=2$. Zoek $\mu$ en zoek de doorsnede van het vlak met $\ell$
3. Een schets van een kromme, met vier mogelijkheden voor de kromming. Je moest de juiste er uithalen en argumenteren waarom.
4. $\beta$ een cirkelschroeflijn. Zij $\alpha =\beta +T_{\beta }$. Zoek de kromming en torsie van $\alpha$ en concludeer dat dat ook een cirkelschroeflijn is.

2006-09-01

Theorievragen:

1. Definieer spiegeling en schuifspiegeling in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^n$. Toon aan dat elke isometrie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ een translatie, een rotatie of een schuifspiegeling is.
2. Bewijs dat een cirkel in ${\mathbb{𝔼}}^n$ een constante kromming heeft. Toon dan aan dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^2$ met een constante kromming een deel van een rechte of een deel van een cirkel is.

Oefeningen:

1. • Toon aan dat de vlakken V: $x-3y-1=0$ en $2y-2+7=0$ en W: $x-2y-1=0$ en $4y-w+2=0$ in ${\mathbb{𝔸}}^4$ snijden in één punt.
   • Bepaal het hypervlak door dit punt dat zwak parallel is met de rechte X: $x-3y-5=0$ en $y-z+6=0$ en $4y-w+2=0$ en het vlak Y: $2x+y-z-1=0$ en $w-4=0$.
2. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld over de volgende uitspraken over isometrieën in ${\mathbb{𝔼}}^3$
   • De samenstelling van 2006 translaties is terug een translatie.
   • De samenstelling van 2006 schuifspiegelingen (t.o.v. een spiegelvlak) is terug een schuifspiegeling (t.o.v. een spiegelvlak).
   • De samenstelling van 2006 schroefbewegingen is terug een schroefbeweging.
3. Stel ${\mathbb{ℍ}}^2$ het hyperbolisch vlak gegeven door $(x,y)\in {\mathbb{𝔸}}^2|y>0$ waarbij elke rakende ruimte wordt uitgerust met het scalair product $v_{(x,y)}\cdot w_{(x,y)}:=\frac{1}{y^2}(v_1{w}_1+v_2{w}_2)$. Voor elke $ϵ\ge 0$ beschouwen we de kromme ${\alpha }_{ϵ}:]-1,1[\to {\mathbb{ℍ}}^2:t\to {\alpha }_{ϵ}(t)=(t,1+ϵ+t.ϵ)(t\le 0)of(t,1+ϵ-t.ϵ)(t>0)$2
   • Schets de krommen ${\alpha }_0$, ${\alpha }_{0,5}$ en ${\alpha }_1$.
   • Bereken de lengte $L_{ϵ}$ van ${\alpha }_{ϵ}$.
   • Argumenteer dat $L_{ϵ}$ een minimum bereitk tussen $ϵ=0,3$ en $ϵ=0,5$en interpreteer meetkundig.
4. Zij $\beta$ een booglengtegeparametriseerde kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ met een constante kromming verschillend van 0 die op een boloppervlak ligt. Tton aan dat $\beta$ (een deel van) een cirkel is.

2006-06-22

Theorievragen:

1. • Definieer rotatie en schroefbeweging in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$ en bespreek uitvoerig.
   • Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van ${\mathbb{𝔼}}^3$.
2. • Geef de definitie van een cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef en bewijs de karakterisatie van cirkelschroeflijnen aan de hand van hun kromming en torsie.

Oefeningen:

1. Gegeven: 2 rechten in ${\mathbb{𝔸}}^3$. (De vergelijkingen van de rechten weet ik niet meer.) Toon aan dat deze rechten kruisend zijn en geef de recht met richting (1,1,-2) die beide rechten snijdt.
2. • Zij $\theta \in \mathbb{ℝ}$ en $p\in {\mathbb{𝔼}}^2$. Definieer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de rechten $l_1=p+\text{vct}\{(1,0)\}$ en $l_2=p+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$. Zij $S_1$ de spiegeling rond de rechte $l_1$ en $S_2$ de spiegeling rond de rechte $l_2$. Bewijs dat $S_2\circ S_1$ een rotatie is, en geef het centrum en de rotatiehoek.
   • Bewijs dat elke rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
3. Gegeven een grafiek van een kromme $\beta (t)$ en gegeven vier mogelijke functies voor $\kappa (t)$. Welke $\kappa (t)$ hoort bij $\beta (t)$. Je moest kijken naar het feit dat $\kappa (t)$ van teken moest veranderen en zijn gedrag rond nul.
4. Gegeven: volgende kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$: $\beta (t)=a(1+\cos (t),\sin (t),2\sin \left(\frac{t}{2}\right))$.
   • Bewijs dat het beeld van deze kromme gelegen is op de de doorsnede van de cilinder met als vergelijking $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ en de sfeer met als vergelijking $x^2+y^2+z^2=4a^2$.
   • Toon aan dat $\beta$ regulier is.
   • Toon aan dat de kromming en torsie worden gegeven door $\kappa (t)=\frac{\sqrt{13+3\cos t}}{a\cdot (3+\cos t{)}^{3/2}}$ en $\tau =\frac{6\cos \frac{t}{2}}{a\cdot (13+3\cos t)}$.

2

2006-06-15

Theorievragen:

1. • Definieer rotatie in de Euclidische ruimte ${\mathbb{𝔼}}^3$ en bespreek uitvoerig.
   • Classificeer alle oriëntatiebewarende isometriën van ${\mathbb{𝔼}}^3$.
2. • Definieer en bespreek het Frenet-apparaat (referentiestelsel, kromming) van vlakke krommen. Geef en bewijs ook de formules van Frenet voor vlakke krommen.
   • Geef en bewijs de karakterisatie van cirkels aan de hand van hun kromming.

Oefeningen:

1. Zij $A_1,A_2,A_3$ drie punten van ${\mathbb{𝔸}}^2$.
   • Bewijs dat er een uniek drietal punten $B_1,B_2,B_3$ bestaat, zodat $A_1$ het midden is van $B_1$ en $B_2$, $A_2$ het midden is van $B_2$ en $B_3$ en $A_3$ het midden is van $B_3$ en $B_1$.
   • Als $A_1,A_2$ en $A_3$ affien onafhankelijk zijn, geef en bewijs dan een methode om $B_1,B_2$ en $B_3$ te construeren.
2. • Zij $\theta \in \mathbb{ℝ}$ en $p\in {\mathbb{𝔼}}^2$. Definieer in ${\mathbb{𝔼}}^2$ de rechten $l_1=(0,0)+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$ en $l_2=p+\text{vct}\{(\cos \theta ,\sin \theta )\}$. Zij $S_1$ de spiegeling rond de rechte $l_1$ en $S_2$ de spiegeling rond de rechte $l_2$. Bewijs dat $S_2\circ S_1$ een translatie is, en bepaal ook de vector waarover getransleerd wordt.
   • Bewijs dat elke translatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ geschreven kan worden als samenstelling van twee spiegelingen. Is deze ontbinding uniek?
3. Beschouw een booglengtegeparametriseerde kromme $\beta :\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{𝔼}}^2$ met als intrinsieke vergelijking $\kappa (s)=e^{-s}+\text{bgtg }s-2$. Welke van de vier volgende afbeeldingen geeft (een deel van) het beeld van $\beta$ weer? Motiveer je antwoord. (Dan zijn vier grafieken gegeven. Het antwoord is te vinden door de grootte van de kromming als $s\to \pm \mathrm{\infty }$ te bekijken, samen met de observatie dat de kromming van teken verandert.)
4. Beschouw de kromme $\alpha :\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{𝔼}}^3:t\to (\sin (t^2),\sin (t^2),\cos (t^2))$. Bepaal de kromming en de torsie van deze kromme.

2005-06-??

(Wiskunde, reeks 1)

Theorievragen:

1. Definieer "schroefbeweging" en "rotatie" in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.

Oefeningen:

1. • Gegeven zijn affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van ${\mathbb{𝔸}}^n$, met $S\cap T=\mathrm{\varnothing }$. Toon aan dat de dimensie van de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ die S en T omvat gelijk is aan dim(V + W) + 1
   • Beschouw in ${\mathbb{𝔸}}^5$ de vlakken gegeven door $x_2=0,x_4=0,x_5=1$ enerzijds en $x_1=0,x_4=1,x_5=0$ anderzijds. Bepaal de kleinste affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^5$ die deze vlakken omvat.
2. Gegeven is de isometrie $F:{\mathbb{𝔼}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^2:\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}-3/5& -4/5\\ -4/5& 3/5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.
   • Welk type isometrie uit de classificatie is F?
   • Beschrijf deze isometrie volledig: geef centrum en hoek voor een rotatie, spiegelas en translatiedeel in de richting van de as voor een schuifspiegeling.
3. Bekijk de booglengtegeparametriseerde vlakke kromme $\beta (s)=(\underset{0}{\overset{s}{\int }}\cos (\ln t)dt,\underset{0}{\overset{s}{\int }}\sin (\ln t)dt).$
   Verifieer dat de evoluut van deze kromme eveneens booglengtegeparametriseerd is.
4. Zij $\beta :{\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to {\mathbb{𝔼}}^3:s\mapsto \beta (s)$ een boogelengtegeparametriseerde kromme met ${\kappa }_{\beta }>0$ en definieer $\alpha (s)=\beta (s)-s{\beta }^{\prime }(s)$.
   • Verifieer dat $\alpha$ regulier is, maar niet noodzakelijk booglengtegeparametriseerd.
   • Stel dat $\alpha$ een vlakke kromme is. Bewijs dat $\beta$ een cilinderschroeflijn is.

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)