Computergesteund probleemoplossen in de natuurkunde

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Cools. Belangrijk voor Cools is het echt snappen van wat je doet en wat de problemen zijn die er opduiken, hoe je iets programmeert is niet zo belangrijk.

Vragen 2005

• Leg stabiliteit uit aan de hand van partiële differentiaalvergelijkingen.
• Bereken oppervlakte tussen tanh(x) en x²/4 in Maple Maak dan in Matlab een Monte Carlo simulatie aan de hand van verscheidene aantallen punten en bereken de fout tussen MC en de uitkomst in Maple. bepaal zo de orde van convergentie.
• $x_{n+1}=x_n\frac{x_n^2+3a}{3x_n^2+a}$ (recursie) Toon aan dat deze $\sqrt{a}$ berekent bij juiste keuze van a(0). Kies voor a een eenvoudig getal (bijvoorbeeld 2) en laat dit algoritme lopen. Bepaal de orde van convergentie.
• Hidden bit: wat is het en geef voor en nadeel.
• Een PC heeft 1 seconde nodig om een stelsel 100x100 op te lossen. Hoeveel tijd heeft ie nodig voor een stelsel 10000x10000 op te lossen en hoeveel geheugen?

Opmerking: Dat jaar stond hoofdstuk 9, toevalsgeneratoren, nog niet op het programma!

Eerste zit 2006

19 juni voormiddag

1. Bespreek in ten hoogste 2 bladzijden de diverse Euler-methodes die we in de les gezien hebben, voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. De volgende sleutelwoorden worden in je tekst alvast verwacht: impliciet, expliciet, orde, stabiel.
2. benader de exponentiële functie met een matlab-programma. Doe dit door een taylorreeks rond x=0 op te stellen. Dit moet je dan benaderen in x=-20,0 en 20. Wat zijn de resultaten. Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit. Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren.
3. Stel a is een dubbel nulpunt van de functie f(x)=0. Beschouw de gewijzigde newton-methode $x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$. Laat nu zien dat deze minstens kwadratisch convergeert, als deze convergeert.
4. Wat is het verschil tussen genormaliseerde en niet-genormaliseerde getallen? Waarom maakt men dit onderscheid?
5. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waar de stapgrootte is uitgezet in functie van de fout.

26 juni voormiddag

1. Bespreek methoden om niet lineaire vergelijkingen op te lossen. Belangrijk hierbij zijn de grafische interpretatie en ordes van covergeren. Waarom zijn deze technieken essentieel in het kader van de cursus?
2. Bereken in Maple de oppervlakte ingesloten tussen 6.tanh(x) en $e^x-1$ (voor positieve x-en). Zoek de rechte met vergelijking x = t, die deze oppervlakte in 2 deelt.
3. Benader in Matlab de functie sin(x) met een Taylorreeks rond nul. Laat deze reeks stoppen wanneer de volgende term relatief gezien bijna niets meer bijdraagt tot de reeks (je moet dus zelf kiezen wat relatief is!). Evalueer deze reeks minstens in x=0, x=20 en x=40. Wat merk je? Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit? Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren?
4. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waarhet aantal stappen is uitgezet in functie van de fout?
5. Bespreek de conditie bij het oplossen van een stelsel (zowel overgedetermineerd als oplosbaar).

Eerste zit 2008

13 juni voormiddag

1. Bespreek methoden om een generator te maken voor niet-uniforme continue verdelingen en geef naast de theorie ook specifieke voorbeelden, geef ook voordelen en nadelen (kost, beperkingen, efficiëntie, ...). Verder moest je ook nog de eigenschappen geven waaraan een goede generator moet voldoen.
2. Je hebt een windmolen van 100m hoog met spaken van 12,5m lang. Ze draaien wijzerszin met een hoeksnelheid van 2 rad per seconden. Wanneer een van deze spaken een hoek alfa maakt met de horizontale (rechts van de paal), dan breekt hij af aan de as. En is hij onderworpen aan de wetten van Newton zonder luchtwrijving: $\frac{{\partial }^{2}x}{\partial t^2}=0;\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=-g.$ Bepaal met Maple de baan van het massacentrum van de spaak en bepaal waar deze de grond raakt in functie van de hoek alfa.
3. Je hebt een jagerprooi model gegeven door x'(t) = x(x-0.2)(1-x) - xy , y'(t) = xy - 0.7y, Los deze differentiaalvergelijking op mbv matlab en bepaal door te kijken op de grafiek hoe hoog het populatiemaximum is van de prooien in de tijd.
4. Spreek over de conditie van lineaire stelsels, ook overgedetermineerde.

13 juni namiddag

1. Bespreek numerieke methoden om niet lineaire vergelijkingen op te lossen. Belangrijk hierbij zijn de grafische interpretatie en ordes van covergeren. Waarom zijn deze technieken essentieel in het kader van de cursus?
2. zelfde vraag als vraag 2 van 13 juni, voormiddag
3. beschouw de functie $f(x)=\frac{1}{co{s}^2(x)}$ op het interval Is dit een kansdichtheid? Indien niet: doe de nodige aanpassingen. Gebruik een transformatie om met matlab 10 000 punten te genereren volgens deze wdf. Teken histogrammen om te controleren.
4. Bespreek de acceptance-rejection methode voor het genereren van pseudo-willekeurige punten. Wat zijn de voor-en nadelen?

20 juni voormiddag

1. Leg stabiliteit uit aan de hand van partiële differentiaalvergelijkingen. Laat uit je uitleg blijken dat je begrijpt wat stabiliteit betekend.
2. Beschouw volgende aangepaste euler methode voor tijdsintegratie: $y_{n+1}=y_n+f(y_n+\frac{h}{2}f(y_n))$. Gebruikt als testfunctie: $\frac{\partial y}{\partial t}=-y$ met y(0) = 1. Bereken de locale fout voor 1 tijdsstap voor verschillende waarden van h. Bereken ook de globale fout bij integratie van 0 tot 1 voor verschillende waarden van h. Plot deze resultaten en leidt hieruit de orde van de aangepaste eulermethode af.
3. Bereken de oppervlakte tussen de functies f(x)=tanh(2x) en f(x) = exp(x) - 1, tussen de snijpunten waarbij x>=0. Beschouw een functie x->t. Bepaal t zo dat de rechte de oppervlakte tussen de 2 functie f en g in 2 gelijke delen verdeeld.
4. Wat is het verschil tussen genormaliseerde en niet-genormaliseerde getallen? Waarom maakt men dit onderscheid?

Tweede zit 2008

29 augustus voormiddag

1. Bespreek volgende methodes voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen: voorwaartse Euler, achterwaartse Euler, trapeziumregel. Gebruik zeker de begrippen expliciet, impliciet, orde en stabiliteit. Leg uit waarom er voor stijve differentiaalvergelijkingen problemen kunnen ontstaan.
2. Kun je aan de hand van een grafiek van de fout in functie van de staplengte de orde van een methode bepalen?
3. Oefening... ook in Matlab. (ik kan ze niet meer navertellen)
4. Beschouw de functie cos(x). Maak in Matlab een programma dat cos(x) berekend aan de hand van zijn Taylorreeks rond x waarbij de graad van de Taylorreeks zo is dat hogere machtstermen te verwaarlozen zijn. De graad hangt dus af van x en dit moet verwerkt zijn in je programma. Als je de reeks niet meer kent, vraag die dan op in Maple. Laat je programma de functiewaarden voor 0, 20 en 40 berekenen. Vergelijk de resultaten. Is dit een gevolg van conditie of stabiliteit?
5. (a) Wat is een hidden bit? (b) Als het oplossen van een 100x100-stelsel 1 seconde in beslag neemt voor je computer. Hoe lang duurt het dan voor diezelfde computer om een 10 000x10 000-stelsel op te lossen? Hoeveel geheugen neemt dit in beslag. Leg uit.

Eerste zit 2009

12 juni namiddag

1. Bespreek stabiliteit en conditie bij (vierkante) stelsels.
2. Hoe kan je de warmtevergelijking oplossen mbv impliciete methodes, en wat is de orde ervan en blabla al diee zooi.
3. Beschouw y' = 100y - 100t + 101. Los deze differentiaalvgl exact op met maple. Gebruik dan de voor- en achterwaartse euler methode om ze op te lossen in matlab. Vertel wat over stabiliteit enzo.
4. Beschouw de functie cos(x). Maak in Matlab een programma dat cos(x) berekend aan de hand van zijn Taylorreeks rond x waarbij de graad van de Taylorreeks zo is dat hogere machtstermen te verwaarlozen zijn. De graad hangt dus af van x en dit moet verwerkt zijn in je programma. Als je de reeks niet meer kent, vraag die dan op in Maple. Laat je programma de functiewaarden voor 0, 20 en 40 berekenen. Vergelijk de resultaten. Is dit een gevolg van conditie of stabiliteit?

19 juni voormiddag

1. Bespreek numerieke methodes voor het oplossen van niet-lineaire vergelijkingen. Belangrijk hierbij zijn grafische interpretatie en convergentie. Waarom zijn deze technieken essentieel in de cursus?
2. Bespreek hoe je toevalsvariabelen kunt maken die continu en niet-uniform verdeeld zijn.
3. Beschouw y' = 100y - 100t + 101 met y(0)=1. Los deze differentiaalvergelijking exact op met Maple, eerst homogeen, dan particuliere oplossing voor de BVW y(o) = 1. Is het een stijf probleem? Schrijf op papier de vergelijkingen uit voor voorwaartse en achterwaartse Euler. Los deze vergelijking op in Matlab voor h=0.1 en geef waarden voor 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 en 0.5. Komt dit overeen met wat je verwacht wat betreft stijfheid? Breng een perturbatie aan en bekijk. (1% bvb).
4. f(x)=tanh(4x) en g(x)=exp(x)-1. Bereken de oppervlakte tussen de twee snijpunten >0. Bepaal nu x=t zodat de oppervlakte deelt door 2.

Opmerking: als je de integraal onbepaald berekend, zal er iets mislopen. Hoe kan je Maple dit laten vermijden?

Tweede zit 2009

28 augustus voormiddag

1. Bespreek volgende methodes voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen: voorwaartse Euler, achterwaartse Euler, trapeziumregel. Gebruik zeker de begrippen expliciet, impliciet, orde en stabiliteit.
2. Wat is het verschil tussen genormaliseerde en niet-genormaliseerde getallen? Waarom maakt men dit onderscheid?
3. beschouw de functie $f(x)=\frac{1}{co{s}^2(x)}$ op het interval van 0 tot Pi/4. Is dit een kansdichtheid? Indien niet: doe de nodige aanpassingen. Gebruik een transformatie om met matlab 10 000 punten te genereren volgens deze wdf. Teken histogrammen om te controleren.
4. Stel a is een dubbel nulpunt van de functie f(x)=0. Beschouw de gewijzigde newton-methode $x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$. Laat nu zien dat deze minstens kwadratisch convergeert, als deze convergeert. Kies hiervoor zelf een functie om dit aan te tonen. Waarom is een tweede graad geen goede keuze? Leg uit wat kwadratische convergentie precies betekent.

Eerste zit 2010

7 juni voormiddag

1. Bespreek hoe je toevalsvariabelen kunt maken die continu en niet-uniform verdeeld zijn. Aan welke voorwaarde moet een software-generator voldoen?
2. Bespreek de Eulermethodes voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen in maximum 2 pagina's. Vermeld de woorden expliciet, impliciet, orde, stabiliteit.
3. Verhaaltje over zonnen en planeten. Bottom line: los de differentiaalvergelijking op:$d^{2}x/d{t}^2=-x/r^3$ en $d^{2}y/d{t}^2=-y/r^3$ met $r=\sqrt{x^2+y^2}$ onder een aantal gegeven beginvoorwaarden (overeenstemmend met excentriciteit 0, 0.5 en 0.9). Teken de baan en zorg dat meer dan 1 periode wordt getekend. Blijft de grootte van de baan constant in de tijd?
4. Stel a is een dubbel nulpunt van de functie f(x)=0. Beschouw de gewijzigde newton-methode $x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$. Laat nu zien in Maple dat deze minstens kwadratisch convergeert, als deze convergeert. Kies hiervoor zelf een functie om dit numeriek aan te tonen. Waarom is een tweede graad geen goede keuze? Leg uit wat kwadratische convergentie precies betekent.

Eerste zit 2011

10 juni namiddag

1. wat weet je over conditie en stabiliteit ivm het oplossen van (vierkante) stelsels.
2. wat is het verschil tussen genormaliseerde en gedenormaliseerde getallen en waarom maakt men dit onderscheid.
3. beschouw volgend stelsel:

$\frac{dy}{dt}=100y-100t+101$ is dit een stijf stelsel? Zoek de algemene oplossing alsook de particuliere $(y(0)=1)$ met Maple. klopt je vermoeden omtrent de stijfheid van het stelsel?

Schrijf de formules voor voorwaartse en achterwaartse euler uit voor dit specifiek probleem en los hiermee het stelsel op in Matlab voor de waarden t=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 met tijdsstap dt=0.1. Hoe zit het hier met de stijfheid van het stelsel?

Vorm algemeen besluit: stijf of niet? (nvda: Dit stelsel is wel degelijk stijf, en dat kon je al zeker weten nadat maple je de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking gaf)

1. beschouw de driehoek met hoekpunten (0,0) (0,1) (1,1).

<inleiding over hoe je hierin punten uniform kunt verdelen door ze uniform te verdelen over en vierkant en dan de helft weg te smijten> Bedenk nu een manier (met enkel uniform verdeelde willekeurige getallen ter beschikking) om de punten uniform over de driehoek te verdelen. Per punt (nvda: een punt bestaat uit 2 getallen!) mag je maar 2 random numbers genereren (nvda: je mag dus niks wegsmijten).

Los met je pas uitgevonden random number generator de volgende integraal op met een Monte Carlo simulatie: $in{t}_0^{1}in{t}_0^{1-x}{x}^{2}ydydx$