Analyse I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Informatie over het examen

Het vak Analyse I is sinds 2007-2008 in de handen van prof. Quaegebeur. Q (zoals hij zich graag noemt) heeft een voorliefde voor bepaalde soorten humor, maar laat je daardoor vooral niet tegenhouden: de lessen zijn zeer interessant en boeiend om te volgen (zij het af en toe wat minder vrouwvriendelijk).

Het examen was dit jaar (08-09) moeilijker dan de vragen die je hieronder kunt vinden. Je moet de leerstof dus iets beter beheersen dan onderstaande vragen aangeven. Je hebt 4,5 uur de tijd, wat normaalgezien genoeg is, maar werk toch goed door. Vraag ook een hint als je iets écht niet vindt, dat is beter dan niets kunnen vertellen. Een intuitieve redenering is ook al iets waard, maar natuurlijk minder dan een volledig bewijs.

2008-2009

Sorry chaps ... copyrighted :-(

De examenopgaven van de eerste zit 2008-2009 mogen niet openbaar gemaakt worden. Dit is in de eerste plaats om de leerlingen zelf te beschermen, zoniet zouden de examens steeds moeilijker moeten worden. Veel vragen zijn namelijk inzichtsvragen; vragen waarbij je eerst even moet nadenken of de gestelde bewering nu juist of fout is (om ze dan te bewijzen of een tegenvoorbeeld te geven). Indien deze vragen (en eventueel oplossingen) al op voorhand bekend zouden zijn, valt dat inzichtsaspect weg. Er bestaan bovendien nu eenmaal niet oneindig veel zulke inzichtsvragen van eenzelfde niveau. Vandaar het verbod (met uitzondering van schriftelijke toestemming van de auteur) om de examenvragen te publiceren.

2007-2008

2008-08-20 (Voormiddag)

1. Beschouw een rij $(f_n{)}_n$ van functies van $\mathbb{ℝ}$ naar $\mathbb{ℝ}$ die puntsgewijs convergeert naar een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$. Veronderstel dat de convergentie bovendien uniform is op ${\mathbb{ℝ}}_0$. Mag je besluiten dat de convergentie uniform is op gans $\mathbb{ℝ}$? Argumenteer!
2. Bestaat er een afleidbare functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ met f'(0) = 0 waarvoor een rij $(x_n{)}_n$ in $\mathbb{ℝ}$ bestaat zodat $x_n\to 0$ en $f^{\prime }(x_n)\to +\mathrm{\infty }$? Argumenteer!
3. Beschouw volgende verzameling F van functies: $F=\{f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}|f\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u};\mathrm{\exists }\delta \in ]0,1],\mathrm{\forall }x\in [0,\delta ]:f(x)=0\}$. We beschouwen de supremmumtechniek $d_{\mathrm{\infty }}$ op F. Is $(F,d_{\mathrm{\infty }})$ volledig? Zo ja, bewijs; zo neen, wat is de vervollediging?
4. Beschouw metrische ruimten $(X,d_X)$ en $(Y,d_Y)$ en een continue functie $f:X\to Y$. We definiëren de grafiek G(f) van f als de volgende deelverzameling van X x Y: $G(f)=\{(x,f(x))|x\in X\}$. We maken van X x Y een metrische ruimte via de metriek d((x,y),(x',y')) = $d_X$(x,x') + $d_Y$(y,y').
   • Veronderstel dat O een open deel is van X x Y. Definieer de verzameling $A=\{x\in X|(x,f(x))\in O\}$. Toon aan dat A een open deel is van X.
   • Veronderstel nu dat X samenhangend is. Gebruik het vorige om aan te tonen dat G(f) een samenhangend deel van X x Y is.

2008-08-18 (Namiddag)

1. Men noemt een functie Lipschitz-continu op gesloten begrensd interval I als er geldt: er bestaat een M zodat $|f(x)-f(y)|\le M\cdot |x-y|$ voor alle x,y in I

a) toon aan met vb dat Lipschitz sterker is dan gewone continuiteit

b) als f afleidbaar is en f' is continu, dan is f Lipschitz-continu. Toon aan.

c) geldt het omgekeerde ook? bewijs of tegenvb

2. definieer een rij als volgt:

• kies $x_0$ in $\mathbb{ℝ}$ willekeurig
• definieer $x_{n+1}=\cos (x_n)$ recursief

bespreek asymptotisch gedrag en argumenteer.

3. $(X_1,d_1)$ en $(X_2,d_2)$ metrische ruimten en definieer $X=X_1\times X_2$ met $d_x((x_1,x_2),(x_1^{\prime },x_2^{\prime }))=d_1(x_1,x_1^{\prime })+d_2(x_2,x_2^{\prime })$

$(Y,d_y)$ met $f:X\to Y$

$(a_1,a_2)\in X$

Verder hebben we $f_1:X_1\to Y:x_1\mapsto f(x_1,a_2)$ en $f_2:X_2\to Y:x_2\mapsto f(a_1,x_2)$

a) als f continu in $(a_1,a_2)$, dan $f_1$ en $f_2$ continu in resp $a_1$ en $a_2$?

b) omgekeerde geldt ook? bewijs of tegenvb

4. we nemen de metriek $d(x,y)=\min \{\Vert x-y\Vert ,1\}$ Is ${\mathbb{ℝ}}^2$ volledig met deze metriek? Bewijs of vervolledig

2008-06-20 (Namiddag)

Media:Examen20-06-08-15-00.pdf Ik hoop dat het zo volledig en correct is...

2008-06-09 (Voormiddag)

Media:Examen2008Analyse1.pdf

2008-06-09 (Namiddag)

1. Leg uit wat wordt bedoeld met +∞/L=-∞ (L<0) in de context van limieten van reële functies. En geef een bewijs in een eindig ophopingspunt.
2. Bewijs dat in een open convex deel van C, een functie f met f'(z)=0 voor alle z, constant is.
3. Gegeven een rij $(x_n{)}_n$ in C die als limiet nul heeft, bewijs dat deze rij een deelrij heeft zodat de reeks van deze deelrij absoluut convergeert.
4. Noteer met $C_0(R)$ de verzameling van de continue functies f : R → R waarvoor de limieten op +∞ en −∞ bestaan en nul zijn. Noteer met $C_b(R)$ de verzameling van de continue begrensde functies van R naar R. Toon aan dat $C_0(R)$ een deelverzameling is van $C_b(R)$. Toon aan dat $C_0(R)$ gesloten is.
5. Stel A en B compacte, disjuncte, niet-lege delen van een metrische ruimte. Noteer d(A,B) = inf{d(a,b)|a in A, b in B}. Bewijs dat d(A,B)>0. Is dit ook waar als A en B gesloten maar niet compact zijn?

Ouder

2007-08-24

1. Geef een metriek (V,d) die aan de volgende voorwaarden voldoet
   • een rij enkel en alleen convergeert als ze "gewoon" convergeert
   • er Cauchyrijen bestaan in (V,d) die geen Cauchyrijen zijn met de gewone metriek
2. In de studie van samenhangende verzamelingen hebben we voor een verzameling E $\subset$ V open in E en gewoon open bekeken. Bespreek en illustreer met voorbeelden.
3. Beschouw een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ Definieer een grafiek G van f als G={(x,f(x))|x in R}. Bewijs dan dat als f continu is, dat G gesloten is. Geldt het omgekeerde ook?
4. Bewijs propositie 2.5 (Afgeleiden II) nauwkeurig.
5. Beschouw de functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:(x,y)\mapsto (y-x^2)(y-2x^2)$ De beperking van f tot een willekeurige rechte door de oorsprong zal altijd een lokaal minimum bezitten. Vind een differentieerbare functie $g:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}^2$ met g(0)=(0,0) zodat f beperkt tot het beeld van g geen lokaal minimum heeft in (0,0). Met andere woorden er is geen lokaal minimum voor f(g(x))
6. Werk propositie 3.5 (Integratietheorie) nauwkeurig uit
7. In propositie 4.6 (speciale functies) hebben we bewezen dat de gammafunctie uitbreidbaar is naar $\mathbb{ℂ}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$. Kunnen we voor

$z\in \mathbb{ℂ}$ en $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$ een analoge uitbreiding vinden voor de betafunctie. Je mag hiervoor dus geen gebruik maken van propositie 4.12

2007-06-21

Tex-file van professor Van Daele (opgave+bespreking)

2006-06-12

1. Zij (V,d) een metrische ruimte en A een deelverzameling van V. Bewijs nauwkeurig dat het complement van de sluiting van A gelijk is aan het inwendige van het complement van A. (Cfr. opgave 3.16 in metrische ruimten.) Illustreer met een of enkele voorbeelden.
2. In "Metrische ruimten" hebben we de begrippen continuïteit (5.1) en gelijkmatige continuïteit (5.13) gedefinieerd. Bespreek deze begrippen, de verschillen en de verbanden.
3. Toon aan dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f(x)=\exp \left(\frac{-1}{x^2}\right)$ als $x>0$ en $f(0)=0$ als $x\le 0$, continu differentieerbaar is tot de tweede orde. Deze functie is ook oneindig keer differentieerbaar. Dit moet je niet bewijzen, maar bespreek wel dit resultaat.
4. Hoe moeten we de gelijkheid $\frac{df}{dt}=\sum _{i=1}^p\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}$ interpreteren? Bespreek.
5. Zoek de punten van de grafiek van $z=x^2-y^2+1$ die het dichtst bij de oorsprong liggen. (Cfr. opgave 5.4 uit Afgeleiden II.)
   Maak een tekening en bespreek je resultaat.
6. Beschouw de rij $(f_n)$ van continue functies $[0,2\pi ]\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f_n(x)=\frac{\sin nx}{x^2+n^2}$. Toon aan dat $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}_n(x)dx\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. (Aanwijzing: je moet de integralen hiervoor niet uitrekenen.)
7. In Definitie 4.11 van speciale functies definiëren we B als de integraal van een functie. Toon aan dat deze functie inderdaad integreerbaar is.

2005-06-13

1. Beschouw propositie 4.24 uit 'Metrische Ruimten' (E is de unie van twee aan twee disjuncte samenhangende verzamelingen). Neem $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ met de gewone metriek. Veronderstel bovendien dat E open is. Bewijs dat dan ook alle samenhangende componenten van E open zijn. Aanwijzingen: 1. Is een open bol samenhangend in ${\mathbb{ℝ}}^n$?
2. In Definitie 5.1 en Definitie 5.13 uit 'Metrische ruimten' geven we de definitie van continuïteit en van gelijkmatige continuïteit. Bespreek deze begrippen en vooral het verschil, de gelijkenissen en het verband tussen beide.
3. Neem n = 1,2,3,... en definieer functies $h_n:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $h_n(x)=x^n$ indien x rationaal is en $h_n(x)=0$ indien x irrationaal is. Wat kan je dan allemaal vertellen over de continuïteit en de differentieerbaarheid van deze functies voor de verschillende waarden van n?
4. We beschouwen de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ bepaald door de vergelijkingen
   $x^2+y^2-z^2=0$
   $3x+y-5=0$
   Gebruik stelling 5.10 ('Afgeleiden II') om de punten op deze kromme te vinden die het dichtst bij de oorsprong liggen. Maak een tekening en bespreek het resultaat.
5. Formuleer en bewijs Lemma 4.4 uit 'Integratietheorie' nauwkeurig en bespreek het resultaat.
6. In Voorbeeld 5.4 ('Integratietheorie') hebben we een functie gedefinieerd. We weten dat ze niet continu is in (0,0). Construeer een rij punten $(x_n,y_n{)}_n$ in het domein zodat $(x_n,y_n)\to (0,0)$ maar toch niet $f(x_n,y_n)\to 0$.
7. Gebruik de formule uit Propositie 4.5 ('Speciale functies') om aan te tonen dat $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ voor elke x>0. Argumenteer nauwkeurig en volledig. Schrijf ook je bewijs netjes op.

2005-08-22

1. In het deeltje 'Metrische ruimten' hebben we Stelling 2.5 (vastepuntstelling). Is het resultaat nog juist als daarbij $\lambda =1$ toegelaten wordt? Bespreek.
2. Beschouw een willekeurige metrische ruimte (V,d) en een deelverzameling A van V. Toon nauwkeurig aan dat het inwendige van het complement $A^C$ van A gelijk is aan het complement van de sluiting $\bar{A}$ van A (cfr. Opgave 3.16 uit 'Metrische ruimten'). Illustreer het resultaat met een voorbeeld.
3. Definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0. Wat denk je over de volgende redenering (cfr. Opgave 5.19 uit 'Metrische ruimten'): 'Er geldt dat $f({\mathbb{ℝ}}^{+})=\mathbb{ℝ}$ en dus $f^{-1}(\mathbb{ℝ})={\mathbb{ℝ}}^{+}$. Dit geeft dan een open verzameling in $\mathbb{ℝ}$, namelijk $\mathbb{ℝ}$ zelf, zodat het inverse beeld van deze open verzameling onder f niet meer open is. Daarom is f niet continu.' Bespreek.
4. Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^p\to {\mathbb{ℝ}}^p$ door $f(x)=\lambda x+a$ waarbij a een willekeurig element is uit ${\mathbb{ℝ}}^p$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}$. Is dan f totaal afleidbaar, in welke punten en wat is de totale afgeleide?
5. Beschouw een gesloten en begrensd interval [a,b] in $\mathbb{ℝ}$ en een functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℂ}$. We weten dat |f| Riemann integreerbaar is als f dat is. Geldt ook het omgekeerde?
6. Neem Toepassing 4.7.ii uit het deeltje 'Integratietheorie'. Werk dit argument meer in detail uit: Bewijs nauwkeurig dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, gedefinieerd door $f(x)=\exp (-x^2)$, oneigenlijk integreerbaar is.
7. In het deeltje 'Speciale functies' hebben we in Propositie 4.5 een formule die we echter niet bewezen hebben. We geven wel een argument. Waarom is dit 'argument' geen nauwkeurig argument en dus niet voldoende als bewijs? Wat is het probleem?

2004-06-04

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. We hebben op twee verschillende manieren aangetoond dat $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (zie "Speciale functies" en "Integratietheorie"). Bespreek beide methodes en vergelijk ze. Is er een verband tussen beide?
2. Bekijk Stelling 2.6 en Propositie 2.7 uit "Metrische ruimten en continuïteit". Bekijk ook de metriek op $\mathbb{ℝ}$, gedefinieerd in Voorbeelden 2.3.i. Wat is de vervollediging van deze metrische ruimte?
3. Beschouw een continue functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ en noteer $G=\{(x,f(x))|x\in [0,1]\}$. Toon aan dat G een gesloten en begrensde deelverzameling is van ${\mathbb{ℝ}}^2$.
4. Wat weet je allemaal over het probleem van het verwisselen van integraal en afgeleide?
5. Gebruik Opgave 4.10 (Integratietheorie) om na te gaan of de reeks $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ al of niet convergeert. Bespreek.
6. Beschouw een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$. Associeer daarmee een functie $g:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ door $g(x+iy)=f_1(x,y)+i{f}_2(x,y)$ waarbij $x,y\in \mathbb{ℝ}$ en $f_1$ en $f_2$ de componenten zijn van $f$. Wat kun je zeggen over het verband tussen differentieerbaarheid van $f$ en differentieerbaarheid van $g$?
7. In Opmerkingen 4.7.iii (Afgeleiden II) staat: "Wanneer we de formule ... afleiden volgt uit een goede toepassing van de kettingregel dat ... = 0". Leg dit nauwkeurig uit en laat blijken dat je de kettingregel correct kan toepassen.

2002-01-21

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. Definieer $A=\{\frac{1}{k^2+1}|k\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$. Stel dat $(x_n)$ een convergente rij is zodat $x_n\in A$ voor elke $n$. Wat weet je over de limiet?
2. Bespreek de relatie die er bestaat tussen de convergentie van een rij en de convergentie van een deelrij van die rij.
3. Propositie 5.5 uit "De reële en complexe getallen" wordt in de nota's niet bewezen. Bewijs daaruit de volgende drie formules: $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$, $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$ en $|\left|z_1\right|-\left|z_2\right||\le |z_1-z_2|$. Ga efficiënt te werk.
4. Geef een voorbeeld van een functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ die continu is in 0 en 1 maar nergens anders.
5. Neem drie getallen $p,q,r\in \mathbb{ℝ}$ en definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=px+q$ als $x<r$ en $f(x)=x^2$ als $x\ge r$. Voor welke waarden van deze parameters zal $f$ overal differentieerbaar zijn? Bespreek je antwoord en illustreer het met behulp van een grafiek van $f$.
6. In voorbeeld 2.7.ii (Afgeleiden II) staat: "In de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ levert dit $\exp x=(\exp c)\exp (x-c)$." Toon dat aan
7. Werk het bewijs van propositie 2.2 (Speciale functies) verder uit.

Proefexamens

Proefexamen 2009

Proefexamen 2010

Proefexamen 2011

Proefexamen 2012

Bijkomende informatie

Oplossingen van een aantal oefeningen:

Oplossingen Analyse

Deze file bevat vooral oplossingen voor de opgaven van "Metrische ruimten en continuïteit" en "Afgeleiden I". Er staan slechts een paar oplossingen in voor "Afgeleiden II" en "Integratietheorie". Er zitten dus echt heel wat gaten in - mocht iemand zin hebben om deze oplossingenbundel in de toekomst (volgend jaar?) aan te vullen, contacteer mij: dan geef ik de tex-file door.Arne 13 jun 2006 02:24 (CEST)

Extra oefeningen: AnalyseI.pdf