Statistical Inference and Data Analysis

Statistical Inference wordt gegeven sinds 2011-2012. De evaluatie bestaat uit een aantal taken en een examen dat gedeeltelijk gesloten en gedeeltelijk open boek is (met een verdelingstabel zoals van kansrekenen die je altijd mag gebruiken). Er is ook een klein mondeling stukje. Zo goed als alles gebeurt in het Engels, maar voor een mondeling examen kan je altijd aanvragen om het in het Nederlands af te leggen.

Examen 23 januari 2012, namiddag

Theorie

1. De inequality of Cramér-Rao is gegeven, samen met Assumptions 3.1.
   1. Bewijs in het geval $d=1$.
   2. Waar wordt dit toegepast?
2. Twee modellen voor lineaire regressie (bv. in verschillende streken): $\mathrm{E}Y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ en $\mathrm{E}Y={\gamma }_0+{\gamma }_1{x}_1+{\gamma }_2{x}_2$. Een onderzoeker vermoedt dat alle parameters gelijk zijn behalve de intercepten. Introduceer gepaste notaties om het probleem te beschrijven. Welke test zou je uitvoeren om het probleem op te lossen? Welke veronderstellingen worden er gemaakt?

Mondeling

1. Stel dat we asymptotisch normale schatter hebben voor een parameter. We zijn niet meer geïnteresseerd in de parameter zelf, maar in een transformatie. Onder welke voorwaarde kunnen we dan welk resultaat hebben? Wat is de sleutel tot het bewijs?
2. We hebben een maximum likelihood estimator voor een meerdimensionale parameter. Hoe krijgen we een benaderende betrouwbaarheidsrechthoek?
3. Een regressiemodel waarbij $x_1$, $x_2$, $x_1^2$, $x_2^2$ en $x_1{x}_2$ voorkomen. Hoe vinden we de kleinstekwadratenschattingen voor de parameters?

Oefeningen

1. Veranderlijke $X$ met verdelingsfunctie met parameters $\alpha ,\beta >0$: $\mathrm{P}(X⩽x)={\left(\frac{x}{\beta }\right)}^{\alpha }\text{ voor }0<x<\beta$ (als ik me goed herinner).
   1. Geef een tweedimensionale sufficient statistiek voor $(\alpha ,\beta )$.
   2. Is $\max (X_1,\dots ,X_n)$ zwak consistent voor $\beta$?
   3. Veronderstel $\alpha >0$ gegeven. Is $\max (X_1,\dots ,X_n)$onvertekend voor $\beta$? Kan je nog een andere onvertekende schatter vinden? Welke zou je verkiezen?
2. Veranderlijke $X$ met dichtheidsfunctie met parameter $\theta >0$: $f(x)=\theta x^{\theta -1}\text{ voor }0<x<1$ (als ik me goed herinner).
   1. Zoek de maximum likelihood estimator voor $\theta$.
   2. Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval. (Hint: $-\sum _{i=1}^n\ln X_i\sim \mathrm{\Gamma }(n;\frac{1}{\theta })$.)
   3. Hypothesetest ${\mathrm{H}}_0:\theta =1\text{ vs. }{\mathrm{H}}_1:\theta =2$. Geef de most powerful test van size $\alpha$ als we maar over één variabele $X_1$ beschikken.
   4. Wat is de power van deze test?