Inleiding tot de Hogere Wiskunde

Eerste zit 2005-06

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.
2. Gebruik deze definitie om aan te tonen dat een reële rij $(a_n)$ convergeert als er geldt dat $a_n\ge 0$ voor alle $n\ge 100$ en $a_n\ge a_{n+1}$ voor alle $n\ge 2006$.

Vraag 2

1. Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$.
2. Zijn $g:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ en $h:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ afleidbare functies. Beschouw de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ gegeven door de vergelijkingen g(x,y,z) = a en h(x,y,z) = b, waarbij a en b reële constanten zijn. Laat zien dat het vectorproduct $\mathrm{\nabla }g\times \mathrm{\nabla }h$, uitgerekend in een punt op de kromme, een raakvector aan de kromme is.

Vraag 3

1. Bewijs met behulp van volledige inductie dat de identiteit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ geldt voor alle natuurlijke getallen n en voor alle reële getallen x in ]-1,1[.
2. Bewijs dat voor een reële veelterm p(x) van graad n geldt dat $\int e^{x}p(x)dx=e^{x}q(x)+C$ waarbij q(x) de veelterm is die gegeven wordt door $q(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{p}^{(k)}(x)=p(x)-p^{\prime }(x)+...$.

Vraag 4

Beschouw de differentiaalvergelijking t²x"(t) + 3tx'(t) + 3x(t) = 0 voor t > 0.

1. Zoek oplossingen voor de differentiaalvergelijking van de vorm $x(t)=t^{\lambda }$ met $\lambda$ een complex getal. Bepaal dan de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. (Hint: gebruik de identiteit $t^{\lambda }=e^{\lambda \ln t}$ die geldt voor alle $\lambda \in \mathbb{ℂ}$ en voor alle t > 0.)
2. Bepaal alle oplossingen waarvoor geldt dat x(1) = 0. Deze oplossingen hebben nog andere nulpunten. Bepaal al deze nulpunten.

Vraag 5

Van de volgende 5 oefeningen moeten er precies 4 worden opgelost.

• Zij $(a_n)$ een reële rij met limiet 3 en zij $(b_n)$ een reële rij zodat $b_0=8$ en $b_{n+1}=b_n/2+a_n$ voor alle n. Bepaal de limiet van $(b_n)$.

• Bepaal alle reële getallen A waarvoor geldt dat $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+Ax}-x)=1.$

• Bereken de limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3.$

• Bepaal de Taylorveeltermen van graad 3 in het punt 0 voor $f(x)=\ln (\cos x)$ en $g(x)={\left(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">bgtan</mrow>}x\right)}^2$. Bereken $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$.

• Bereken de integraal $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

Vraag 6

Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken: $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}:(x,y,z)\mapsto x^2-2x+y^2-4y+z^2-4z.$

1. Bepaal en classificeer alle kritieke punten van f.
2. Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door $x^2+y^2+z^2\le 36$.

Tweede zit 2004-05

Bron: Toledo

Vraag 1

1. Geef de definitie van convergentie van een rij $(z_n)$ van complexe getallen.
2. Geef de definitie van convergentie en van absolute convergentie van een reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$. Geef een voorbeeld van een convergente reeks die niet absoluut convergent is.
3. Neem aan dat $(z_n)$ en $(w_n)$ twee rijen van complexe getallen zijn waarvoor geldt dat $|z_n|\le 5|w_n|$ als $n\ge 2005$. Neem aan dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|w_n|$ convergent is. Bewijs hieruit dat de reeks $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ dan ook convergent is.
   [N.B. U moet hierbij het bewijs van een analoge stelling uit de cursus aanpassen aan de gegeven situatie. Eigenschappen van convergente rijen mag u gebruiken; evenals de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is.]

Vraag 2

1. Leg duidelijk uit hoe de bepaalde integraal $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ van een begrensde functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ is ingevoerd. Behandel hierbij in ieder geval:
   • Een partitie van [a, b].
   • De bovensom en ondersom behorende bij een partitie.
   • De bovenintegraal en onderintegraal.
2. Formuleer de hoofdstelling van de integraalrekening en leg uit hoe deze gebruikt kan worden om de afgeleide van een functie van de vorm $x\to \underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(t)dt$ te berekenen. Hierin zijn a(x) en b(x) gegeven afleidbare functies van x.

Vraag 3

1. Bereken de oplossing van de differentiaalvergelijking $x+2x-3x=t+1$ die voldoet aan $x(0)=1$ en $x^{\prime }(0)=0$.
2. Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een functie $y=y(t)$
   $y=20y-y^2$
   en schets de grafiek van enkele oplossingen.

Vraag 4

Maak 4 van de onderstaande 5 opgaven naar keuze. Doorstreep duidelijk de opgave die je niet wil laten meetellen. U MOET ÉÉN OPGAVE DOORSTREPEN!

1. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ met $(a_n)$ de rij gedefinieerd door $a_n+1=\sqrt{1+2a_n}$ en $a_0=4$.
   [N.B. U hoeft niet aan te tonen dat de rij convergent is.]
2. Bereken $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt{x-1}}{\text{bgcos }x}$
3. Bereken $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{[\ln (e+\frac{1}{x})]}^x$
4. Bereken $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$
5. Bereken $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{y}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin x}{x+y}dxdy$

Vraag 5

Beschouw de volgende machtreeks: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{1+k^2}(x-1{)}^k$

1. Bepaal de convergentieschijf van deze machtreeks en maak een schets van de convergentieschijf in het complexe vlak.
   [N.B. Convergentie op de rand hoeft u niet te onderzoeken.]
2. Onderzoek of de machtreeks convergeert in de volgende punten:
   • x = 0
   • x = 1 + 2i
   • x = 2