Lineaire algebra

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Wim Veys

Lineaire algebra heeft de reputatie van een moeilijk vak. Dit is waarschijnlijk omdat het veel abstracter is dan de wiskundeleerstof uit het middelbaar. Het is dan ook even wennen aan abstracte begrippen als vectorruimte, lineaire afhankelijkheid, basis, inproduct... Het begrip matrix ken je waarschijnlijk al uit het middelbaar, en de kracht ervan komt hier pas echt tot z'n recht in de context van stelsels lineaire vergelijkingen en van lineaire transformaties.

Informatie over het examen

Het examen Lineaire Algebra is helemaal niet zo moeilijk als het vak op het eerste zicht lijkt. Het examen is schriftelijk, dus je hoeft al geen rechtstreekse confrontatie met prof. Veys aan te gaan. Het examen is gesloten boek, en je mag geen rekentoestel gebruiken.

Het examen begint met zeker 2 theorievragen (kijk bij de examenvragen voor voorbeelden). Theorievragen kunnen bewijzen zijn, en indien het bewijzen zijn, hoeven het geen bewijzen die letterlijk in de cursus staan te zijn. Het is dus de bedoeling dat je min of meer ervaren raakt in het bewijzen van dingen. Af en toe wordt hierop geoefend in de oefenzittingen.

Verder is de kans ook vrij groot dat een vraag over een van de toepassingen gesteld wordt. Je krijgt alle uitleg over die toepassing dan in een bijlage bij het examen, dus je hoeft ze niet van buiten te kennen. Deze vraag kan theoretisch geïnspireerd zijn, maar het kan ook een oefening zijn die concreet gebruik maakt van de theorie van de toepassing. Op het examen heb je waarschijnlijk te weinig tijd om je nog wegwijs te maken in de gegeven toepassing, dus zorg dat je de toepassingen vooraf grondig doorgenomen hebt (en ze verstaat).

De oefeningen zijn van heel uiteenlopende aard, maar meestal niks ondoenbaars (altijd volgens werkwijzen uit de oefenzittingen). Hier en daar kan soms wel eens *net iets meer* inzicht vereist zijn, dus blijf vooral rustig en geconcentreerd doorwerken. De laatste vraag is meestal een oefening in context van een bepaalde situatie of een verhaaltje, waar je meestal nogal wat inzicht en creativiteit goed kan gebruiken.

Uiteindelijk viel dit examen beter mee dan ik had verwacht, en dat bleek ook voor anderen zo te zijn. Zorg dat je zeker alles gestudeerd krijgt, en sla niks over uit tijdsnood. Je zou je dat anders beklagen op het examen in termen van deze oefening is helemaal niet zo moeilijk, en ik had ze zeker gekund als ik naar die theorie had gekeken.

Examens

2004-01-13 (wiskunde/natuurkunde)

1. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V.
   Bewijs: ${𝒜}$ is orthogonaal $⟺A^T=A^{-1}$.
2. Zij V een vectorruimte en zij $U_1$, $U_2$ en $U_3$ deelruimten van V.
   • Wat betekent $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$ ?
   • Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$, dan is $\dim (V)=\sum _{i=1}^3\dim (U_i)$.
3. Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
   • Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.
4. Zij $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\}$ een basis van de duale ruimte V*.
   • Toon aan dat ${𝒜}:V\to V:v\to {\phi }_1(v)e_1+\cdots +{\phi }_n(v)e_n$ een lineaire afbeelding is.
   • Toon aan dat ${𝒜}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.
5. Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
   • Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
   • Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.
6. Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

2004-01-13 (informatica)

1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
   $\dim (V)=\dim (\ker {𝒜})+dim(?)$
2. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: $W^{\mathrm{\perp }}=\{v\in V|v\mathrm{\perp }w\text{ voor alle }w\in W\}$.
   • Bewijs dat $W^{\mathrm{\perp }}$ een deelruimte is van V .
   • Leg uit wat dit betekent en bewijs: $V=W\oplus W^{\mathrm{\perp }}$. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.
3. Zij $U=<(-1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)>$ een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Geef een basis van U.
   • Wat is de dimensie van U?
   • Bestaat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^3$ die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
4. Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
   • Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.
5. Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
   • Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
   • Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.
6. Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$.
   • Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat $P^{-1}AP=D$
   • Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toetsen

2005-11-18

1. Zij ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzicht van basissen ${ℰ}$ van V en ${ℱ}$ van W. Zij anderzijds A' de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van basissen ${{ℰ}}^{\prime }$ van V en ${{ℱ}}^{\prime }$ van W. Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van ${ℰ}$ naar ${{ℰ}}^{\prime }$ en Q de matrix van basisverandering van ${ℱ}$ naar ${{ℱ}}^{\prime }$.
   Geef en bewijs de formule die A' uitdrukt in termen van A, P en Q.
2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en U en W deelruimten van V zodat $U\cap W=\{0_V\}$.
   Toon aan dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat $W\subset W^{\prime }$ en $U\oplus W^{\prime }=V$.
3. Gegeven zijn twee deelruimten
   $U_a=[(4+a,2,0,-2),(3,a-1,0,-1)]$
   $V_a=[(3,5,a+1,-5),(0,10+a,0,0)]$
   van ${\mathbb{ℝ}}^4$.
   Bepaal $\dim (U_a\cap V_a)$ in functie van de reële parameter a.
   Merk op: Het is niet nodig om $U_a\cap V_a$ zelf expliciet te berekenen.
4. • Toon aan dat de vector cos, sin, en id uit de vectorruimte ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ lineair onafhankelijk zijn. Merk op dat bijvoorbeeld $\cos :\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\to \cos (x)$.
   • Beschouw de verzameling
     $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}\Vert \mathrm{\exists }a\in \mathbb{ℝ}:f(a)=0\}$
     Is U een deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$? Verklaar je antwoord.

2004-11-??

1. Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V.
   • Leg uit wat U + W is.
   • Bewijs dat $\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W$.
     (Hint: Kies op doordachte manier basisssen.)
2. Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling $V\times W=\{(v,w)|v\in V,w\in W\}$. Met de optelling gedefinieerd door $(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$ en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$ wordt $V\times W$ dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat $\dim (V\times W)=\dim V+\dim W$.
3. Zij k een reële parameter en zij $\{e_1,e_2,e_3\}$ de standaardbasis van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij $f_k$ de lineaire transformatie van ${\mathbb{ℝ}}^3$ waarvoor geldt dat $f_k(e_1)=k{e}_1-k{e}_2+k{e}_3$, $f_k(e_2)=-e_1+(2k-1)e_2+e_3$ en $f_k(e_3)=2e_1-2k{e}_2-2e_3$.
   Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van $f_k$?
4. Geef een voorbeeld van een vectorruimte V en een strikte deelruimte $W⊊V$ waarvoor geldt dat $V\cong W$. Bewijs ook dat je deelruimte aan de gevraagde voorwaarden voldoet.