Computergesteund probleemoplossen in de natuurkunde

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Cools. Hij is wel vriendelijk op het examen, maar zegt niet al te veel. Hij gaat bijvoorbeeld niet opmerken als je iets totaal verkeerd zegt, maar je gewoon verder laten praten en nadien noteren dat er iets fout was. Het is dus belangrijk zeker te zijn voor je iets zegt! Je gaat ook geen bevestiging krijgen als er iets wel juist is. Zijn bijvragen zijn ook niet van de gemakkelijkste.

Vragen 2005

• Leg stabiliteit uit aan de hand van partiële differentiaalvergelijkingen.
• Bereken oppervlakte tussen tanh(x) en x²/4 in Maple Maak dan in Matlab een Monte Carlo simulatie aan de hand van verscheidene aantallen punten en bereken de fout tussen MC en de uitkomst in Maple. bepaal zo de orde van convergentie.
• $x_{n+1}=x_n\frac{x_n^2+3a}{3x_n^2+a}$ (recursie) Toon aan dat deze $\sqrt{a}$ berekent bij juiste keuze van a(0). Kies voor a een eenvoudig getal (bijvoorbeeld 2) en laat dit algoritme lopen. Bepaal de orde van convergentie.
• Hidden bit: wat is het en geef voor en nadeel.
• Een PC heeft 1 seconde nodig om een stelsel 100x100 op te lossen. Hoeveel tijd heeft ie nodig voor een stelsel 10000x10000 op te lossen en hoeveel geheugen?

Opmerking: Dat jaar stond hoofdstuk 9, toevalsgeneratoren, nog niet op het programma!

Eerste zit 2006

19 juni voormiddag

1. Bespreek in ten hoogste 2 bladzijden de diverse Euler-methodes die we in de les gezien hebben, voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. De volgende sleutelwoorden worden in je tekst alvast verwacht: impliciet, expliciet, orde, stabiel.
2. benader de exponentiële functie met een matlab-programma. Doe dit door een taylorreeks rond x=0 op te stellen. Dit moet je dan benaderen in x=-20,0 en 20. Wat zijn de resultaten. Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit. Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren.
3. Stel a is een dubbel nulpunt van de functie f(x)=0. Beschouw de gewijzigde newton-methode $x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$. Laat nu zien dat deze minstens kwadratisch convergeert, als deze convergeert.
4. Wat is het verschil tussen genormaliseerde en niet-genormaliseerde getallen? Waarom maakt men dit onderscheid?
5. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waar de stapgrootte is uitgezet in functie van de fout.

26 juni voormiddag

1. Bespreek methoden om niet lineaire vergelijkingen op te lossen. Belangrijk hierbij zijn de grafische interpretatie en ordes van covergeren. Waarom zijn deze technieken essentieel in het kader van de cursus?
2. Bereken in Maple de oppervlakte ingesloten tussen tanh(x) en $e^x-1$ (voor positieve x-en). Zoek de rechte met vergelijking x = t, die deze oppervlakte in 2 deelt.
3. Benader in Matlab de functie sin(x) met een Taylorreeks rond nul. Laat deze reeks stoppen wanneer de volgende term relatief gezien bijna niets meer bijdraagt tot de reeks (je moet dus zelf kiezen wat relatief is!). Evalueer deze reeks minstens in x=0, x=20 en x=40. Wat merk je? Zijn de verschillen te wijten aan conditie of stabiliteit? Hoe kan je door een eenvoudige aanpassing de resultaten verbeteren?
4. Hoe kan je de orde aflezen op een grafiek waarhet aantal stappen is uitgezet in functie van de fout?
5. Bespreek de conditie bij het oplossen van een stelsel (zowel overgedetermineerd als oplosbaar).