Meetkunde 1

http://celentano-16.alumblogs.net celentano http://pollo-poket-21.blogskine.net/ventaclub-apollo-beach-grecia/ ventaclub apollo beach grecia http://hotel-france-20.alumblogs.net/hotel-capri-sorrento/ hotel capri sorrento http://incest-14.alumblogs.net/node/portal-incest/ portal incest http://garanzia-attiva-80.mygreatblogs.net/2008/08/attiva-telecom/ attiva telecom http://fiets-klein-44.alumblogs.net fiets http://place-29.alumblogs.net/2008/09/22/quebec-city-place-royale/ quebec city place royale http://checker-messenger-41.mygreatblogs.net/messenger-status/ messenger status http://congelatore-75.alumblogs.net/2008/08/congelatore-incasso-rex/ congelatore incasso rex http://selvagge-1.blogskine.net selvagge http://elenoire-lacroix-44.mygreatblogs.net/node/elenoire-versus/ elenoire versus http://chianciano-benessere-63.mygreatblogs.net/2008/08/last-minute-hotel-chianciano/ last minute hotel chianciano http://supermercati-2.mygreatblogs.net/blog/entry/gabrielli-supermercati/ gabrielli supermercati http://tatoo-ragno-63.blogskine.net/node/ragno-gommato-dimensione/ ragno gommato dimensione http://koenig-ferrari-58.blogskine.net/2008/08/guida-pilotaggio-ferrari/ guida pilotaggio ferrari http://reloaded-60.mygreatblogs.net/blog/entry/the-matrix-reloaded/ the matrix reloaded http://magna-romangna-70.blogskine.net/agenzia-traduzione-emilia-romagna/ agenzia traduzione emilia romagna http://villa-carlotta-83.alumblogs.net/2008/08/villa-esclusive-sposo/ villa esclusive sposo http://movie-synopsis-73.mygreatblogs.net/cat-women-movie/ cat women movie http://carson-63.blogskine.net/node/elizabeth-carson-foto/ elizabeth carson foto http://associazione-deltaplano-96.blogskine.net/wordpress/associazione-imprenditori-falliti/ associazione imprenditori falliti http://google-70.alumblogs.net/wordpress/lato-oscuro-google-pdf/ lato oscuro google pdf http://smaltimento-eternita-66.alumblogs.net/2008/09/17/placenta-smaltimento/ placenta smaltimento http://spiedini-freddi-99.mygreatblogs.net/freddie-prinze/ freddie prinze http://mentre-83.mygreatblogs.net/wordpress/donna-mentre-fanno-sesso/ donna mentre fanno sesso http://destroy-70.alumblogs.net destroy http://caterina-valente-49.mygreatblogs.net caterina http://produttore-elettrodomestico-90.blogskine.net/blog/entry/elettrodomestico-colorati/ elettrodomestico colorati http://prossime-76.blogskine.net/prossime-uscite-musicale/ prossime uscite musicale http://passo-costalunga-35.alumblogs.net/2008/09/passover-seder-dates/ passover seder dates http://cadillac-71.alumblogs.net/wordpress/cadillacs-dinosaurs/ cadillacs dinosaurs http://jacket-dacor-24.mygreatblogs.net/blog/entry/full-metal-jacket/ full metal jacket http://cirio-20.alumblogs.net/2008/09/rimborso-obbligazione-cirio-monte/ rimborso obbligazione cirio monte http://filippo-nardi-48.alumblogs.net/2008/07/31/amedeo-bernardi/ amedeo bernardi http://lucia-giuliano-59.mygreatblogs.net/2008/08/luciano-liboni/ luciano liboni http://montagna-piemonte-15.alumblogs.net/blog/entry/cancellazione-ipoteca-mediocredito-piemontese/ cancellazione ipoteca mediocredito piemontese http://videoporno-gatis-90.mygreatblogs.net videoporno http://steve-carell-73.blogskine.net/wordpress/bruno-ceccarelli/ bruno ceccarelli http://berlusconi-immigration-38.mygreatblogs.net/node/immigration-quebec/ immigration quebec http://adenomacarciroma-gastrico-92.blogskine.net/wordpress/statistica-bendaggio-gastrico/ statistica bendaggio gastrico http://milano-miglierina-74.alumblogs.net/blog/entry/elenco-graduatoria-permanente-milano/ elenco graduatoria permanente milano http://wholesale-26.blogskine.net wholesale http://giovanni-battista-78.alumblogs.net/node/giovanni-moris-firenze/ giovanni moris firenze http://leofreddi-monica-56.mygreatblogs.net/node/monica-setta-video/ monica setta video http://capire-gravidanza-59.alumblogs.net/blog/entry/esenzioni-esame-sangue-gravidanza/ esenzioni esame sangue gravidanza http://diffusione-cognomi-39.blogskine.net/wordpress/radiotelediffusione-attrezzatura-sistema/ radiotelediffusione attrezzatura sistema http://cardiff-kookai-86.mygreatblogs.net/2008/09/cardiff-sandringham-hotel/ cardiff sandringham hotel http://stecca-artigianali-18.blogskine.net/2008/08/15/vendita-collana-artigianali/ vendita collana artigianali http://giulia-91.alumblogs.net/2008/09/19/mutti-giuliano-impianto-eletrico/ mutti giuliano impianto eletrico http://ramsey-99.mygreatblogs.net/wordpress/ramsey-howard-johnson-lodge/ ramsey howard johnson lodge

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)