Meetkunde 1

http://newriverlandtrust.org/showthread.php?f=57&s=37443 Production Of Bio Nao Fibre http://newcounterculture.com/showthread.php?f=44&s=73829 Les Schwab Amphiteatre http://msmadrid.org/showthread.php?f=98&s=71318 Fire Techno Dj Schooter http://integralparenting.org/showthread.php?f=82&s=56570 History Of Football Eqipment http://netserveplus.com/showthread.php?f=11&s=64978 Azure Skill Stop http://nova-cs.com/showthread.php?f=39&s=66914 Nextel Dance http://integrallife.org/showthread.php?f=9&s=70290 Late Egypt http://integralecology.ca/showthread.php?f=33&s=78833 Girls With Thick Legs http://newcounterculture.com/showthread.php?f=62&s=64200 Kevin Mayoux High School http://nova-cs.com/showthread.php?f=83&s=71020 Nude Celeb Miley Cyrus http://integrallife.org/showthread.php?f=39&s=71006 Lawn Sail http://narconon-vancouver.org/showthread.php?f=73&s=22781 Playstation 2 Troubleshooting No Power http://norikomaeda.com/showthread.php?f=80&s=92656 Moon Fog Records http://integralcommunity.ca/showthread.php?f=96&s=20783 Austin Prostitute Hooker Red Light Street http://nextstepintegral.org/showthread.php?f=51&s=68555 Boys Sports Uniforms http://narconon-vancouver.org/showthread.php?f=44&s=27015 Pregnancy Center Orlando http://msmadrid.org/showthread.php?f=65&s=69127 Femskin Manufacturer http://n-s-w.com/showthread.php?f=43&s=57428 Sap Erp http://integralecology.ca/showthread.php?f=64&s=74433 Garland County Ar Police Log http://nobus.com.mx/showthread.php?f=15&s=35693 Billy Ray Carr Frankfort Kentucky

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)