Analyse II

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.

Examens

2009 - 2010

De volgende drie files bevatten de originele opgaven van de januarizittijd 2010.

Examen van 28 januari (Kortrijk): Media:AnalyseII-28-jan-2010.pdf

Examen van 27 januari: Media:AnalyseII-27-jan-2010.pdf

Examen van 11 januari: Media:AnalyseII-11-jan-2010.pdf

Examen van 11 januari 2010, weliswaar zonder het mooie schetsje:

11 januari 2010

Academiejaar 2008-2009

2009-26-01

Originele opgave:

Media:Leuven-jan2009-reeks2.pdf

Met dank aan prof Vaes die sneller op de wiki was dan ik!

2009-16-01

Originele opgave:

Media:Leuven-16jan-2009.pdf

Niet-officiële (maar wel juiste) pdf:

Media:ExamenAnalyseII2009.pdf

Academiejaar 2007-2008

2008-09-02

Originele opgave:

Media:Leuven-sep2008.pdf

1. Beschouw de Hilbertruimte $L^2(\mathbb{ℝ},\lambda )$ uitgerust met de norm $||.|{|}_2$. Definieer $\omega :L^2(\mathbb{ℝ},)\lambda )\to \mathbb{ℂ}:\omega (f)=\underset{[0,1]}{\int }xf(x)d\lambda (x)$. Toon aan dat $\omega$ een goed gedefinieerde en continue lineaire afbeelding van $L^2(\mathbb{ℝ},\lambda )$ naar $\mathbb{ℂ}$ is. Bereken de norm $||\omega ||$.
2. Zij $f:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ een positief meetbare functie. Toon heel nauwkeurig aan dat $\underset{{\mathbb{ℝ}}^2}{\int }f(x^2+y^2)d\lambda (x,y)=\pi \underset{[0,+\mathrm{\infty })}{\int }fd\lambda .$
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat $\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy$ waarbij $D_A(y)=\frac{sin(Ay)}{\pi y}$.
   1. Toon nauwkeurig aan dat $li{m}_{A\to +\mathrm{\infty }}\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy=1$. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie $x\mapsto \frac{sinx}{x}$ oneigenlijk integreerbaar is op $\mathbb{ℝ}$ met oneigenlijke integraal gelijk aan $\pi$.
   2. Toon aan dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$, $\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\underset{[-1,1]}{\int }{D}_A(y)dy\to 0$ als $A\to +\mathrm{\infty }$. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle $x\in \mathbb{ℝ}$, $li{m}_{A\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(t)e^{itx}dt=f(x)$.
4. In Definitie 1.11 definieerden we de norm $||A||$ van een n bij n matrix $A\in M_n(\mathbb{ℝ})$. Bewijs dat $||A||=sup\{|(A(x)).y||x,y\in {\mathbb{ℝ}}^n,||x||\le 1,||y||\le 1\}$. Hierbij noteerden we met . het gebruikelijke scalair product op ${\mathbb{ℝ}}^n$.
5. Verifieer de Stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(y,0,0)$ en het oppervlak O gegeven door $O=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|x^2+y^2\le 1,z=e^x\}$.

2008-06-23

Originele opgave:

Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf

1. Zij $X$ een Banachruimte met norm $x\mapsto ||x||$. Zij $Y\subset X$ een deelruimte. Toon aan dat $Y$ uitgerust met de norm $y\mapsto ||y||$ een Banachruimte is als en slechts als $Y$ gesloten is in $X$.
2. Zij $f,g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar op $[0,2\pi ]$ en $2\pi$-periodisch. Voor welke $2\pi$-periodische functie $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ integreerbaar op $[0,2\pi ]$, geldt dat $\hat{h}(k)=\hat{f}(k)\hat{g}(k)$ voor alle $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$? Bewijs je antwoord.
3. Zij $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ totaal afleidbaar en definieer $g:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:g(x,y)=||f(x,y)|{|}^2$, $h:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:h(x,y)=||f(x,y)||$. (a) Is $g$ altijd totaal afleidbaar? Zo ja, bewijs en geef een formule voor $(dg)(x,y)$. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. (b) Zelfde vraag voor $h$.
4. Noteer met $g_A:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de functie gedefinieerd in Voorbeeld 4.29. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare, begrensde, gelijkmatige continue functie. toon de volgende uitspraak aan: als $A\to \mathrm{\infty }$, dan zal $\frac{1}{2\pi }\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(y)g_A(y)e^{ixy}dy\to f(x)$ uniform in $x\in \mathbb{ℝ}$. Hint: Dit is het analogon van de Stelling van Fejér voor Fouriertransformaties.
5. Verifieer de Stelling van Stokes voor het oppervlak ${𝒪}$ gegeven door ${𝒪}=\{(x,y,z)|0\le z\le 1,x^2+4y^2=z^4\}$ en het vectorveld $V(x,y,z)=(0,x,0)$.

4HEfCG <a href="http://nyflaufixzcb.com/">nyflaufixzcb</a>, [url=http://ozakizhyqozf.com/]ozakizhyqozf[/url], [link=http://xexyvszsyjbr.com/]xexyvszsyjbr[/link], http://ghysoaqjrcfu.com/

2008-01-21

De opgave van 21 januari 2008 in Kortrijk:

Analyse II examen 2008-01-21

oRX8gF <a href="http://ycxnbufdchte.com/">ycxnbufdchte</a>, [url=http://hntmxplfutdl.com/]hntmxplfutdl[/url], [link=http://xcjcuihzmvui.com/]xcjcuihzmvui[/link], http://wfnwkveldkuz.com/

Ouder

2006-09-05

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   1. Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{som}\le ||A|{|}_{som}||B|{|}_{som}$
   2. Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   3. Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
      1. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
      2. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
      3. $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   4. Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met $C^1$ functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   1. Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   2. Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.

Oudere examens

oudere examens