Complexe Analyse

vrijdag 24 juni 2011

Vraag 1: Geldt de stelling van Rolle in het complexe vlak? Met andere woorden, is het volgende waar:

zij $\mathrm{\Omega }\subseteq \mathbb{ℂ}$ open en zij $[a,b]=\{(1-t)a+tb|t\in [0,1]\}\subseteq \mathrm{\Omega }$. Veronderstel dat $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ analytisch is zodat $f(a)=f(b)$. Dan bestaat er een $c\in [a,b]$ zodat $f^{\prime }(c)=0$. Indien ja, bewijs. Indien nee, geef een tegenvoorbeeld.

Vraag 2: Zoals bekend is de Gammafunctie gedefinieerd door $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$ voor Re$(z)>0$. Zij nu $\gamma$ een oneindige contour zoals op de volgende figuur gegeven [de figuur liet een kromme zien die onder de positieve reële as vertrok, en vervolgens rond nul ging om langs de bovenzijde van de positieve reële as naar rechts te gaan]. Definieer de functie $f(z)=\underset{\gamma }{\int }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$. De integraal die gebruikt wordt in het definiëren van $f$ convergeert voor iedere $z\in \mathbb{ℂ}$ waarvoor Re$(z)>0$ (dit hoeft u niet aan te tonen).

(a) Toon aan dat $f(z)=-2i{e}^{i\pi z}\sin (\pi z)\mathrm{\Gamma }(z)$.

(b) Wat zijn de nulpunten van $f$ in het complexe vlak? (U mag gebruiken dat de Gammafunctie geen nulpunten heeft voor Re$(z)>0$.)

Vraag 3: (a) Zij P(z) een complexe veelterm met nulpunten $z_1,\dots ,z_n$ en respectievelijke multipliciteiten $m_1,\dots ,m_n$. Zij $R\in \mathbb{ℝ}$ zodat $R>|z_k|$ voor iedere $k\in \{1,\dots ,n\}$.

Bereken de integralen $\frac{1}{2\pi i}\underset{C(0,R)}{\int }\frac{z{P}^{\prime }(z)}{P(z)}dz$ en $\frac{1}{2\pi i}\underset{C(0,R)}{\int }\frac{P^{\prime }(z)}{zP(z)}dz$

en druk uw antwoord uit in een zo eenvoudig mogelijke uitdrukking in termen van de nulpunten $z_k$ en multipliciteiten $m_k$ van $P$.

(b) Zij $f$ een functie die analytisch is in $D(0,1+\epsilon )$ voor een zekere $\epsilon >0$ zodat $|f(z)|<1$ voor $|z|<1$. Bewijs dan dat de vergelijking $f(z)=z^n$ precies $n$ oplossingen heeft in $D(0,1)$. Hierbij worden de oplossingen geteld naargelang hun multipliciteit.

Vraag 4: Zij $R>0$ en beschouw het gebied $\mathrm{\Omega }=\{z=x+iy|0<x<R,y>0\}$.

(a) Wat is het beeld van $\mathrm{\Omega }$ onder de afbeelding $z\to e^{iz}$?

(b) Vind een conforme afbeelding die $\mathrm{\Omega }$ afbeeldt op het bovenhalfvlak.

(c) Vind een harmonische functie $u(x,y)$ op $\mathrm{\Omega }$ zodat $u$ continu is op $\bar{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\setminus }\{(0,0)\}$ en die voldoet aan volgende randvoorwaarden: $\{\begin{array}{l}u(0,y)=1|y>0\\ u(x,0)=0|0<x<R\\ u(R,y)=0|y>0\end{array}$.

U mag uw antwoord laten staan in functie van de conforme afbeelding die u in (b) gevonden heeft.

Juni 2010

Media:Verslag2010juni.pdf

Juni 2009

Media:Complexe_analyse_juni2009.pdf

September 2008

Media:complexe_analyse_examen_augustus2008.pdf

Juni 2008

Media:complexe_analyse_examen_juni2008.pdf

23 juni 2007

Bij de examens in juni 2007 was er ook een mondeling gedeelte. De opgave werd ergens in het midden van het semester gegeven en moest worden voorbereid voor het examen. Gevraagd was om precies uit te zoeken hoe men in het boek van Ash & Novinger van de definitie van een analystische functie tot het resultaat komt dat de afgeleide van een analytische ook analytisch is. Dan moest je in de bibliotheek een willekeurig boek van complexe analyse nemen en kijken hoe ze het daar deden. Daarvan moest een samenvatting gemaakt worden, en dit moet je dan uiteindelijk op het examen kort uitleggen aan de prof (zonder notas of samenvatting!) Prof Kuijlaars stelt dan een aantal analysevragen van het genre 'hoe ziet die kromme eruit' of 'wat voor soort verzameling mag dat zijn'.

En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.

• Vraag 1: Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij $f$ een analytische functie en zij $a\ne b$. Bestaat er dan een $c\in [a,b]$ zodat $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

• Vraag 2: Beschouw de integraal

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^a}{1+x^3}dx$

(a) Voor welke waarden van $a$ bestaat deze integraal?

(b) Bereken de integraal voor de waarden van $a$ die je in (a) gevonden hebt.

• Vraag 3: Zij $f$ analytisch op ${\mathbb{ℂ}}^{+}$ en continu op ${\mathbb{ℂ}}^{+}\cup ]-1,1[$.

(a) Welke van de volgende functies op ${\mathbb{ℂ}}^{-}$ zijn analytisch? Verklaar je antwoord.

$g_1(z)=f(\bar{z})g_2(z)=\overline{f(\stackrel{‾}{z})}{g}_3(z)=\overline{f(z)}$

(b) Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Toon aan dat $f$ een analytische voortzetting heeft tot $\mathbb{ℂ}\setminus (]-\mathrm{\infty },1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)$.

(c) Bonusvraag: Neem aan dat $f$ reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Neem verder aan dat $\mathrm{I}\mathrm{m}(f(z))>0$ voor $z\in {\mathbb{ℂ}}^{+}$. Toon aan dat $f$ beperkt tot ]-1,1[ stikt stijgend is.

• Vraag 4:

(a) Toon aan dat de afbeelding $z\mapsto z+\frac{1}{z}$ injectief is op $\mathrm{\Omega }=\{z\in \mathbb{ℂ}:|z|<0,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Im</mrow>}(z)>0\}$ en geeft het beeldgebied.

(b) Vind een Möbiustransformatie van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1[$ naar $D(0,1)\setminus [0,1[.$

(c) Vind een conforme afbeelding van $D(0,1)\setminus [\frac{1}{2},1[$ naar $D(0,1)$.

18 juni 2007

Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. Media:ComlexeAnalyse18062007.pdf

Jan 17 enige jaren terug

(de inhoud van dit vak is ondertussen waarschijnlijk al gewijzigd, maar de vragen lijken toch nog relevant)

Beste,

Ik heb de vragen noch overgepend, noch meegenomen, maar proberen te onthouden. Er kunnen dus onnauwkeurigheden in zitten, maar toch:

1) Zij f een analytische functie op D(0,1), 0 < r < 1. Onderstel dat f injectief is op de annulus $A_r=\{z|r<|z|<1\}$. Bewijs dat f analytisch is op heel de eenheidsschijf D(0,1). [hint: denk aan het argumentprincipe.]

2) Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij G een gebied, en f een analytische functie op G. Onderstel dat $z_0$ en $z_1$ punten in G zijn, met $[z_0,z_1]\subset G$, en $f(z_0)=f(z_1)$. Dan is er een punt $z\in [z_0,z_1]$ met $f^{\prime }(z)=0$.

3) Zij f een rationale functie op $\mathbb{ℂ}$, dus f = p/q, met p en q complexe veeltermen. Definieer het residu van f in oneindig als volgt: stel dat $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ de laurentreeks voor f die convergeert voor |z| > R, voor zekere R > 0. Dan is $Res(f,\mathrm{\infty })=-a_{-1}$. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van f (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.

4) Bereken de hoofdwaarde-integraal PV $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{cos(kx)-cos(lx)}{x^2}dx$.