Algebra II

Academiejaar 2011-2012

Vanaf dit jaar wordt het vak gegeven door professor Nicaise, met een nieuwe cursus.

Januari 2012

We hadden 3,5 uur. Er werd gezegd dat 4 en 5c de moeilijkste vragen waren.

1. Bepaal alle deelvelden van het ontbindingsveld van $x^3-2$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
2. We noteren met $\bar{\alpha }$ het complex toegevoegde van een complex getal $\alpha$. Zij $K$ een deelveld van $\mathbb{ℂ}$ met eindige uitbreidingsgraad over $\mathbb{\mathbb{Q}}$. Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   1. Als $\alpha \in K$, dan is $\bar{\alpha }\in K$.
   2. Veronderstel dat $K$ een normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$ is, dan is $\bar{\alpha }\in K$ als $\alpha \in K$.
3. Zij $f$ een irreducibele separabele veelterm van de derde graad over een veld $K$. Zij ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ en ${\alpha }_3$ de wortels van $f$ in een ontbindingsveld.
   1. Toon aan dat ${\alpha }_1{\alpha }_2$, ${\alpha }_1{\alpha }_3$ en ${\alpha }_2{\alpha }_3$ de wortels zijn van een veelterm $g$ van graad $3$ over $K$.
   2. Bepaal $g$ als $f=x^3+a{x}^2+bx+c$.
   3. Bewijs dat het ontbindingsveld van $f$ over $K$ gelijk is aan het ontbindingsveld van $g$ over $K$ en dat $g$ irreducibel is.
4. (oefening uit de cursus) Zij $I$ een verzameling en $G_i$ een abelse groep voor elke $i\in I$. Bewijs dat de verabelsing van het vrij product $\coprod _{i\in I}{G}_i$ isomorf is met de groep $\underset{i\in I}{⨁}{G}_i=\{(g_i|i\in I)|g_i\in G_i\text{ voor alle }i\text{ en }{g}_i=1\text{ voor bijna alle }i\}$ met componentsgewijze vermenigvuldiging. Hier betekent "voor bijna alle" dat $g_i=1$ voor alle $i$ in $I$ op een eindig aantal na. Hint: gebruik de universele eigenschap van de verabelsing en van het vrij product.
5. (Je mag gebruikmaken van de structuurstelling voor eindige commutatieve groepen.)
   1. Bewijs dat een groep waarin elk element (verschillend van $1$) orde $2$ heeft, commutatief is.
   2. Zij $G$ een niet-commutatieve groep met acht elementen. Geef presentaties voor $Z(G)$ en $G/Z(G)$.
   3. Classificeer alle groepen van orde $8$ op isomorfisme na. Doe dit door uit elke isomorfieklasse een representant te nemen en te werken met presentaties. Bewijs dat een groep van orde $8$ altijd isomorf is met een van de representanten en dat deze niet onderling isomorf zijn.

Academiejaar 2010-2011

Januari 2011

1. • Op pagina 9 van Galoistheorie staat in het bewijs van Stelling 2.2.5. "Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afbeelding een isomorfisme is van vectorruimten over E". Toon aan dat deze afbeelding een injectie is.
   • In het deel over Hilbert's Nullstellensatz staat in Opmerking 1.4. "Het is niet waar dat de unie van een oneindig aantal algebraïsche verzamelingen steeds een algebraïsche verzameling is". Geef een voorbeeld van een oneindige unie van algebraïsche verzamelingen die geen algebraïsche verzameling is.
2. Zij $w=e^{2\pi i/5}$. In de oefenzitting hebben we aangetoond dat $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$ Galois is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ en dat de Galoisgroep van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ cyclisch is.
   • Geef een generator voor deze Galoisgroep.
   • Bepaal alle deelvelden van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$.
3. Zij $K\subset E$ en E is het ontbindingsveld van een veelterm $f(x)\in K[x]$ van graad n. Zij ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ de verschillende wortels van f. We identificeren de Galoisgroep van E over K zoals in de cursus met een deelgroep van ${{𝒮}}_n$ met behulp van het injectief groepshomomorfisme: $Gal(E/K)⟶{{𝒮}}_n:\sigma ⟶\sigma {|}_{{\alpha }_1,...,{\alpha }_{,}}$. Definieer $\mathrm{\Delta }$ als volgt: $\mathrm{\Delta }=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_j)$
   • Toon aan dat $\sigma (\mathrm{\Delta })=sgn(\sigma )\mathrm{\Delta }$.
   • Toon aan dat ${\mathrm{\Delta }}^2\in K$.
   • We identificeren ${{𝒜}}_n\cap Gal(E/K)$ via de Galoiscorrespondentie met een deelveld van E. Toon aan dat dit deelveld $K(\mathrm{\Delta })$ is.
   • Toon aan dat $Gal(E/K)\subset {{𝒜}}_n\iff \mathrm{\Delta }\in K$
4. Waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Zij $a,b\in E$. Als er een automorfisme $\varphi$ van E over K bestaat met $\varphi (a)=b$, dan hebben a en b dezelfde minimale veelterm over K.
   • Zij $a,b\in E$. Als a en b dezelfde minimale veelterm over K hebben, dan bestaat er een automorfisme $\varphi$ van E over K met $\varphi (a)=b$.
5. Geef een Gröbnerbasis van $I=⟨x^2-z,x{y}^2-z⟩$ en bereken $⟨lt(I)⟩$.

Academiejaar 2009-2010

15 januari 2010

Examen 15 januari 2010

Tweede zit 2008-2009

Vraag 1

Op pagina 25 staat Lemma 4.2.5. In het bewijs staat dat het makkelijk na te gaan is dat E' een radikale uitbreiding is van K en dat E' stabiel is ten opzichte van $K\subset E^{″}$. Leg uitvoerig uit.

Vraag 2

Zij $w_n=e^{2\pi i/n}$ met n verschillend van 0. Beschouw H de deelgroep van de multiplicatieve groep van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n)$, voortgebracht door $w_n$.

1. Bewijs dat H cyclisch is van orde n, en dat elk element van $Gal(\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n),\mathbb{\mathbb{Q}})$ uw $w_n$ afbeeldt op een generator.
2. Vanaf nu is n = 12. Geef een afschatting N van het aantal elementen in $Gal(\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n),\mathbb{\mathbb{Q}})$.
3. Geef een veelterm van graad N met $w_n$ als wortel die irreducibel is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
4. Bewijs dat $\mathbb{\mathbb{Q}}\subset \mathbb{\mathbb{Q}}(w_n)$ galois is en leg uit hoe de galoisgroep eruit ziet (maw: met welke bekende groep is deze isomorf?)

Antwoord was N=4, want enkel 1, 5, 7 en 11 zijn onderling ondeelbaar met 12. Galoisgroep is isomorf met Z_2 + Z_2

Vraag 3

Zij $K\subset L$ een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij $\alpha \in L$. Toon aan: $L=K\left(\alpha \right)\iff$ de beelden van $\alpha$ onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.

Vraag 4

Geef twee veeltermen $f,g\in \mathbb{ℂ}[x,y]$ zodat {f, g} geen Grobnerbasis is voor <f, g> voor eender welke monomenordening.

Mogelijk antwoord was x+1 en x. (hier moest wel nog extra uitleg bij waarom - uitleggen waarom 1 nooit groter dan x kan zijn voor een monomenordening.)

Vraag 5

Bekijk opmerking 1.3 van de blaadjes over Nullstellensatz.

1. Geef een voorbeeld van $IJ\ne I\cap J$ en een voorbeeld van $IJ=I\cap J$
2. Is $V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$ voor I, J idealen in een polynomenring $F[x_1,x_2,...,x_n]$ met F een veld? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld!

Antwoord was dat het weldegelijk gelijk was.

Eerste zit 2008-2009

Media:AlgebraII_eerste_zit_2008_2009.pdf

Tweede zit 2007-2008

Vraag 1

Lemma 4.55. Leg uit waarom de laatste zin van de eerste paragraaf in het bewijs van dat lemma waar is. "Thus an element of G is of order p if and only if it cyclically permutes roots of f."

Vraag 2

Vraag 2A

Zij $K\subset L$ een velduitbreiding van graad 3 die Galois is. Zij $x_1,x_2,x_3$ een basis van L als vectorruimte over K en zij $Gal(L,K)=\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\}$. Definieer

         (    sigma_1(x_1)       sigma_1(x_2)       sigma_1(x_3)    )
d := det (    sigma_2(x_1)       sigma_2(x_2)       sigma_2(x_3)    )
         (    sigma_3(x_1)       sigma_3(x_2)       sigma_3(x_3)    )

Toon aan dat $d\in K$.

Vraag 2B

Zij $K\subset L$ een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij $\alpha \in L$. Toon aan: $L=K\left(\alpha \right)\iff$ de beelden van $\alpha$ onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.

Vraag 3

Vraag 3A

Bepaal de Galoisgroep van $x^4-8x^2+9$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$. Met welke bekende groep is deze isomorf? Verklaar elke stap! (Je mag aannemen dat de vermelde polynoom irreducibel is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.)

Vraag 3B

Bepaal de Galoisgroep voor dezelfde polynoom over $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{7}\right)$.

Vraag 4

Vraag 4A

Zij $G:=\{xy-xz,x^{2}z+y^3-1,x^{3}z+x{z}^3-x\}$. Is dit een Gröbnerbasis voor ${<}_{grevlex}$ met $x>y>z$. Indien wel, is ze dan ook minimaal en gereduceerd? Indien niet, geef dan een $f\in <G>$ met f rem G $\ne$ 0.

Vraag 4B

Dezelfde vraag voor ${<}_{lex}$.

Eerste zit 2007-2008

Examen van 28 januari 2008 (14u)

Het examen is (uiteraard) open boek. Je hebt vier uur tijd voor dit examen, en dat is écht weinig.

Er is ook een practicum in Maple dat voor 2 van de 20 punten telt.

Oplossing van het examen, via Lise via Toledo: Media:Oplossingen_examen_algebra_3BA_jan08_1.pdf‎

Vraag 1

In de definitie (in de cursustekst) van het radicaal Rad(J) van een ideaal J in een commutatieve ring R wordt beweerd dat Rad(J) ook een ideaal is van R. Geef hiervoor een bewijs.

Vraag 2

Waar of fout? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

• Zij $n\ge 2$ even. Dan bestaat er een veelterm van graad $n$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ met $n$ verschillende wortels, zodat de Galoisgroep van deze veelterm (over $\mathbb{\mathbb{Q}}$) isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/2\mathbb{\mathbb{Z}},+$.
• Zijn $F\subseteq E_1\subseteq E_2$ eindige velduitbreidingen. Indien $\mathrm{\Gamma }(E_1:F)\cong \mathrm{\Gamma }(E_2:F)$, dan is $E_1=E_2$.

Vraag 3

Zij $n\ge 1$ een geheel getal. Zij $\omega$ een primitieve $n$-de eenheidswortel in $\mathbb{ℂ}$. Zij K een deelveld van $\mathbb{ℂ}$ dat $\omega$ bevat. Zij $a\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ en zij $b$ een wortel van $X^n-a$ in $\mathbb{ℂ}$.

• Bewijs dat $\mathrm{\Gamma }(K(b):K)$ isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/d\mathbb{\mathbb{Z}}$, waarbij $d$ een deler is van $n$.
• Bewijs dat $b^d\in K$.
• Stel dat $X^n-a$ irreducibel is over $K$. Bewijs dat $\mathrm{\Gamma }(K(b):K)$ isomorf is met $\mathbb{\mathbb{Z}}/n\mathbb{\mathbb{Z}}$

Vraag 4

Bepaal de Galoisgroep van $X^3-5$ over

• $\mathbb{\mathbb{Q}}$
• $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt[3]{5}\right)$
• $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{3}i\right)$

Vraag 5

• Beschouw $I=⟨xy+y,xy+2y-x⟩\subseteq \mathbb{ℂ}[x,y]$. Bepaal een Gröbnerbasis voor I t.o.v. de grlex-orde. Geef een basis voor $\mathbb{ℂ}[x,y]/I$ als vectorruimte over $\mathbb{ℂ}$.
• Zij $I$ een ideaal in $\mathbb{ℂ}[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$ met Gröbnerbasis $G$. Construeer een basis voor de $\mathbb{ℂ}$-vectorruimte $\mathbb{ℂ}[x_1,x_2,\cdots ,x_n]/I$ en bewijs.

Eerste zit 2002-03

Oefening 1

Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)

a) Zij $K\subset L$ een velduitbreiding van graad 2. Dan is $L$ normaal over $K$.

b) Zij $L=K(\alpha )$. als de uitbreidingsgraad $[L:K]$ oneven is, dan is $L=K({\alpha }^2)$.

Oefening 2

Zij $p\ne 2$ priem, en zij $\xi$ een complexe primitieve $p$-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep $G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf met de multiplicatieve groep ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Zij $\chi$ het unieke niet-triviale groepsmorfisme van ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$ naar {1,-1}, en stel $\alpha =\sum _{s=1}^{p-1}\chi (s){\xi }^s$.

a) toon aan dat er een uniek deelveld $K$ van $\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi )$ bestaat met uitbreidingsgraad 2 over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

b) Fixeer een isomorfisme $\psi :G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Bewijs dat, voor elk automorfisme $\sigma \in G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$, het beeld van $\alpha$ onder $\sigma$ gelijk is aan $(\chi \circ \psi )(\sigma )$ maal $\alpha$.

c) toon aan dat $K=\mathbb{\mathbb{Q}}(\alpha )$.

Eerste zit 2001-02

Oefening 1

Zij $K$ een eindige uitbreiding van het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}$. zij $g(x_1,\dots ,x_n)$ een niet nul veelterm over $K$. Zij $A$ een deelverzameling van ${\mathbb{\mathbb{Q}}}^n$ en veronderstel dat $g$ nul is op elk element van $A$. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm $h(x_1,\dots ,x_n)$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ te construeren die nul is op elk element van $A$.

Tweede zit 1999-2000

Oefening 1

b) Waar of niet waar? Zij $K\subset L$ velden en $a,b\in L$ met dezelfde minimale veelterm $f(x)$ over $K$. Veronderstel dat $L$ een eindige normale uitbreiding is over $K$. Dan bestaat er een $\sigma \in G(L:K)$ zodat $\sigma (a)=b$.

Oefening 2

Zij $E$ een eindige normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$, met Galoisgroep $G(E:\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+$.

a) Bewijs dat er $a,b\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ bestaan zodat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{a+\sqrt{b}})$.

b) Geef de stabiele velden t.o.v. $E$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

Oefening 3

Geef een basis van de vectorruimte $\mathbb{\mathbb{Q}}(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})$ over het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3})$.

Eerste zit 1999-2000

Oefening 1

Zij $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)$.

a) Is $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)$? Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

b) Bepaal $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ en $L_{G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})}$. Met welke groep is $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf?

Oefening 2

Zij $F\subset K$ velden en $K$ een eindige separabele uitbreiding van $F$. Toon aan:

$K$ is normaal over $F\iff$ voor elke velduitbreiding $L$ van $K$ en elk ringmorfisme $\sigma :K\to L$ met $\sigma {|}_F=I{d}_F$ geldt: $\sigma (K)\subset K$.