Lineaire algebra

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Eerst zit 2003-2004, wiskunde/natuurkunde

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: ${𝒜}$ is orthogonaal $⟺A^T=A^{-1}$.

Vraag 2

Zij V een vectorruimte en zij $U_1$, $U_2$ en $U_3$ deelruimten van V.

1. Wat betekent $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$ ?
2. Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$, dan is $\dim (V)=\sum _{i=1}^3\dim (U_i)$.

Vraag 3

Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.

1. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
2. Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is.
3. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
4. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.

Vraag 4

Zij $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\}$ een basis van de duale ruimte V*.

1. Toon aan dat ${𝒜}:V\to V:v\to {\phi }_1(v)e_1+\cdots +{\phi }_n(v)e_n$ een lineaire afbeelding is.
2. Toon aan dat ${𝒜}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.

Vraag 5

Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met

${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ waarbij m een reële parameter is.

1. Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
2. Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
3. Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.

Vraag 6

Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Eerste zit 2003-2004, informatica

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:

$\dim (V)=\dim (\ker {𝒜})+dim(?)$

Vraag 2

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: $W^{\mathrm{\perp }}=\{v\in V|v\mathrm{\perp }w\text{ voor alle }w\in W\}$.

1. Bewijs dat $W^{\mathrm{\perp }}$ een deelruimte is van V .
2. Leg uit wat dit betekent en bewijs: $V=W\oplus W^{\mathrm{\perp }}$. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.

Vraag 3

Zij $U=<(-1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)>$ een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^3$.

1. Geef een basis van U.
2. Wat is de dimensie van U?
3. Bestaat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^3$ die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.

Vraag 4

Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.

1. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
2. Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
3. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
4. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.

Vraag 5

Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met

${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ waarbij m een reële parameter is.

1. Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
2. Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
3. Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.

Vraag 6

Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$.

1. Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat $P^{-1}AP=D$
2. Bepaal $A^{2004}$.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toets 2003-2004

Vraag 1

Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V.

1. Leg uit wat U + W is.
2. Bewijs dat $\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W$.

Vraag 2

Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling $V\times W=\{(v,w)|v\in V,w\in W\}$. Met de optelling gedefinieerd door $(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$ en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$ wordt $V\times W$ dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat $\dim (V\times W)=\dim V+\dim W$.

Vraag 3

Zij k een reële parameter en zij $\{e_1,e_2,e_3\}$ de standaardbasis van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij $f_k$ de lineaire transformatie van ${\mathbb{ℝ}}^3$ waarvoor geldt dat $f_k(e_1)=k{e}_1-k{e}_2+k{e}_3$, $f_k(e_2)=-e_1+(2k-1)e_2+e_3$ en $f_k(e_3)=2e_1-2k{e}_2-2e_3$.

Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van $f_k$?

Vraag 4

Geef een vectorruimte V en een deelruimte W van V zodat $W\ne V$ en $V\cong W$. Bewijs dat je antwoord aan alle voorwaarden voldoet.

Tussentijdse toets 2004-2005

Vraag 1

Zij ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding tussen twee eindigdimensionale vectorruimten. Zijn E en E' basissen van V, en zijn F en F' basissen van W. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van basissen E van V en F van W. Zij P de matrix van basisverandering van E naar E' en zij Q de matrix van basisverandering van F naar F'. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van de basissen E' van V en F' van W, en bewijs.

Vraag 2

Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V zodat $U\cap W=\left\{0\right\}$.

Bewijs dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat $W\subset W^{\prime }$ en $U\oplus W^{\prime }=V$.

Vraag 3

Gegeven zijn de deelruimten $U_a=[(4+a,2,0,-2),(3,a-1,0,-1)]$ en $V_a=[(3,5,a+1,-5),(0,10+a,0,0)]$ van ${\mathbb{ℝ}}^4$.

Bepaal $\dim (U_a\cap V_a)$ in functie van de reële parameter a.

Vraag 4

1. Toon aan dat de vectoren sin, cos en Id uit de vectorruimte ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ lineair onafhankelijk zijn.
2. Is $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}|\mathrm{\exists }a\in \mathbb{ℝ}:f(a)=0\}$ een deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$? Verklaar.