Algebra II

Eerste zit 1999-2000

Oefening 1

Zij $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)$.

a) Is $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)$? Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

b) Bepaal $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ en $L_{G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})}$. Met welke groep is $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf?

Oefening 2

Zij $F\subset K$ velden en $K$ een eindige separabele uitbreiding van $F$. Toon aan:

$K$ is normaal over $F\iff$ voor elke velduitbreiding $L$ van $K$ en elk ringmorfisme $\sigma :K\to L$ met $\sigma {|}_F=I{d}_F$ geldt: $\sigma (K)\subset K$.

Tweede zit 1999-2000

Oefening 1

b) Waar of niet waar? Zij $K\subset L$ velden en $a,b\in L$ met dezelfde minimale veelterm $f(x)$ over $K$. Veronderstel dat $L$ een eindige normale uitbreiding is over $K$. Dan bestaat er een $\sigma \in G(L:K)$ zodat $\sigma (a)=b$.

Oefening 2

Zij $E$ een eindige normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$, met Galoisgroep $G(E:\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+$.

a) Bewijs dat er $a,b\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ bestaan zodat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{a+\sqrt{b}})$.

b) Geef de stabiele velden t.o.v. $E$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

Oefening 3

Geef een basis van de vectorruimte $\mathbb{\mathbb{Q}}(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})$ over het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3})$.