Meetkunde 1

http://culos-desnudos-25.mygreatblogs.net/2008/09/21/chico-desnudos/ chico desnudos http://natalie-avalon-79.blogskine.net/wordpress/natalie-imbruglia-naked-clip/ natalie imbruglia naked clip http://amedeo-celletti-74.mygreatblogs.net/wordpress/liverani-amedeo/ liverani amedeo http://disinstallare-mcafee-49.blogskine.net/wordpress/disinstallare-toolbar/ disinstallare toolbar http://catwoman-33.blogskine.net/blog/entry/catwoman-theme/ catwoman theme http://trasporto-dipendente-3.blogskine.net/node/cuccia-trasporto-breton/ cuccia trasporto breton http://regalo-premaman-66.blogskine.net regalo http://clinica-private-29.alumblogs.net/2008/09/private-fuck/ private fuck http://nazione-korab-96.alumblogs.net/2008/09/clonazione-mistral/ clonazione mistral http://allestimento-corner-21.alumblogs.net/node/roma-corner/ roma corner http://cambiali-ipotecarie-47.alumblogs.net/node/asta-ipotecarie-casa-maida/ asta ipotecarie casa maida http://soffione-doccia-5.blogskine.net/blog/entry/doccia-nuda/ doccia nuda http://assicurativo-3.mygreatblogs.net assicurativo http://rachel-giannone-76.blogskine.net/wordpress/rachele-guidi/ rachele guidi http://pianoforte-casio-32.alumblogs.net/node/pianoforte-catania/ pianoforte catania http://jukebox-27.blogskine.net/2008/08/27/misicmatch-jukebox/ misicmatch jukebox http://cerca-profilato-62.blogskine.net/node/edificio-ricerca-scientifica/ edificio ricerca scientifica http://proust-madeleine-38.blogskine.net/node/riassunto-madeleine-proust/ riassunto madeleine proust http://parties-66.mygreatblogs.net/blog/entry/list-of-political-parties/ list of political parties http://campionato-sloveno-50.blogskine.net/node/campionato-spagnolo/ campionato spagnolo http://lancaster-holding-47.alumblogs.net/hotel-lancaster-amsterdam/ hotel lancaster amsterdam http://gavin-29.alumblogs.net/node/testo-canzone-gavin-degraw/ testo canzone gavin degraw http://busty-auditions-89.blogskine.net busty http://kelly-lords-60.mygreatblogs.net/2008/08/kelly-mckee/ kelly mckee http://microsoft-framework-16.alumblogs.net microsoft http://serials-38.alumblogs.net/2008/08/serials-thebugs-ws/ serials thebugs ws http://fabrizio-gatti-6.blogskine.net/node/fabrizio-cattani/ fabrizio cattani http://riscaldamento-alternativo-87.alumblogs.net/2008/09/18/riscaldamento-piastra-radiante/ riscaldamento piastra radiante http://microsoft-framework-16.alumblogs.net/cadre-commun-framework/ cadre commun framework http://bowling-putignano-58.alumblogs.net/2008/09/bowling-silvestri-roma/ bowling silvestri roma http://finanziamento-fermo-35.mygreatblogs.net/finanziamento-comunita-europea/ finanziamento comunita europea http://cavallo-vestito-96.alumblogs.net/vestito-armani/ vestito armani http://carugate-sport-11.blogskine.net/node/ultime-notizia-sportive/ ultime notizia sportive http://azzurra-89.blogskine.net/node/villa-in-costa-azzurra/ villa in costa azzurra http://enrica-parma-71.alumblogs.net/node/parma-ham/ parma ham http://testo-tatanka-22.mygreatblogs.net/blog/entry/testo-canzone-ricky-shayne/ testo canzone ricky shayne http://scuola-giudizio-29.alumblogs.net scuola http://soldatino-medievali-16.mygreatblogs.net/blog/entry/leggenda-medievali/ leggenda medievali http://borsa-69.alumblogs.net/node/borsa-studio-tirocinio-formativi/ borsa studio tirocinio formativi http://questions-34.blogskine.net/blog/entry/medical-questions/ medical questions http://amines-polyurethane-37.blogskine.net/thermoplastic-polyurethane-for-footwear/ thermoplastic polyurethane for footwear http://metal-98.blogskine.net/wordpress/corso-disegnatore-metalmeccanico/ corso disegnatore metalmeccanico http://attivita-cantiere-17.alumblogs.net/node/cantiere-brianza/ cantiere brianza http://bestia-satan-13.blogskine.net/2008/08/bella-bestia-film-dvd/ bella bestia film dvd http://porno-turco-57.mygreatblogs.net/wordpress/celebre-porno/ celebre porno http://losanna-hotel-1.mygreatblogs.net/carcassonne-grand-hotel-terminus/ carcassonne grand hotel terminus http://writing-67.blogskine.net/node/letter-proposal-writing/ letter proposal writing http://diritto-ambientale-3.alumblogs.net/node/dispense-diritto-amministrativo/ dispense diritto amministrativo http://alloggio-losanna-78.alumblogs.net/wordpress/alloggio-villa-veneta/ alloggio villa veneta http://immagine-comunione-21.mygreatblogs.net/node/gestire-immagine-asp-net/ gestire immagine asp net

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)