Meetkunde 1

http://dimagrire-2.blogskine.net/node/erba-dimagrire/ erba dimagrire http://norman-5.mygreatblogs.net/wordpress/cartina-della-normandia/ cartina della normandia http://parigi-97.alumblogs.net/rivolta-banlieues-parigine-repubblica/ rivolta banlieues parigine repubblica http://flesh-light-90.alumblogs.net/node/air-flight/ air flight http://poesia-portoghese-24.blogskine.net poesia http://eclipse-78.mygreatblogs.net/2008/08/19/eclipse-keygen-for-reflexive/ eclipse keygen for reflexive http://nuovissimi-concorso-60.alumblogs.net/esito-concorso-municipale/ esito concorso municipale http://incontri-cesena-9.blogskine.net/cesena-casale-spa-hotel/ cesena casale spa hotel http://number-22.blogskine.net/resale-number-application/ resale number application http://antica-erboristeria-40.blogskine.net/wordpress/antica-terrecotte-toscane-it/ antica terrecotte toscane it http://maplin-31.mygreatblogs.net/2008/08/maplin-electronic-glasgow/ maplin electronic glasgow http://volte-stella-38.alumblogs.net/blog/entry/albergo-quattro-stella-moena/ albergo quattro stella moena http://encore-79.blogskine.net/wordpress/encore-dvd/ encore dvd http://cavallo-vestito-96.alumblogs.net/cannero-trarego-piancavallo/ cannero trarego piancavallo http://susanna-falconi-45.mygreatblogs.net/2008/09/susanna-schimparna/ susanna schimparna http://adria-airways-98.mygreatblogs.net adria http://morini-73.alumblogs.net/node/moto-morini-corsaro/ moto morini corsaro http://salvatore-cuffaro-82.mygreatblogs.net/blog/entry/salvatore-cavallaro/ salvatore cavallaro http://alianti-radiocomandati-27.alumblogs.net/2008/07/alianti-bielmonte/ alianti bielmonte http://perfect-96.blogskine.net/blog/entry/paz-perfect/ paz perfect http://concepimento-27.mygreatblogs.net/wordpress/concepimento-ritardo/ concepimento ritardo http://western-locandina-26.mygreatblogs.net/node/locandina-originale/ locandina originale http://black-rhythm-82.blogskine.net/2008/09/big-black-fuckers/ big black fuckers http://polveri-trasportatore-94.mygreatblogs.net/2008/07/26/trasportatore-francese/ trasportatore francese http://dawson-4.mygreatblogs.net/wordpress/rosario-dawson-alexander/ rosario dawson alexander http://hentai-77.blogskine.net hentai http://burnside-project-35.mygreatblogs.net/2008/08/13/project-risk-management/ project risk management http://dimagrire-2.blogskine.net/node/elettrostimolazione-dimagrire/ elettrostimolazione dimagrire http://regalo-premaman-66.blogskine.net/2008/09/09/importazione-articolo-regalo/ importazione articolo regalo http://motor-99.blogskine.net/wordpress/attrezzo-motorizzati-giardinaggio/ attrezzo motorizzati giardinaggio http://caminetto-incasso-89.alumblogs.net/2008/08/caminetto-canazei/ caminetto canazei http://bodrum-spiaggia-40.blogskine.net/2008/08/21/spiaggia-sabbia-bianca/ spiaggia sabbia bianca http://resta-93.mygreatblogs.net/wordpress/vivai-forestale/ vivai forestale http://modello-neoclassico-35.mygreatblogs.net/2008/09/17/carburazione-automodello/ carburazione automodello http://flash-design-51.mygreatblogs.net/blog/entry/cavo-prolunga-flash/ cavo prolunga flash http://storici-mibtel-52.alumblogs.net/wordpress/palazzo-storici-lavagna/ palazzo storici lavagna http://etimologia-pullman-53.alumblogs.net/wordpress/etimologia-cucina-internazionale/ etimologia cucina internazionale http://simonscans-updates-22.blogskine.net/blog/entry/explorer-updates/ explorer updates http://variabili-17.blogskine.net/blog/entry/carta-controllo-variabili/ carta controllo variabili http://laziali-svizzera-55.alumblogs.net/node/libro-dei-proverbio-laziali/ libro dei proverbio laziali http://identita-turca-98.mygreatblogs.net/node/turca-ghisa/ turca ghisa http://apulia-previdenza-1.blogskine.net/node/villaggio-robinson-apuliascreensaver-aquarium/ villaggio robinson apuliascreensaver aquarium http://lolita-18.blogskine.net/2008/08/03/child-lolita/ child lolita http://sport-71.alumblogs.net/wordpress/sport-portale-www/ sport portale www http://christine-ebersole-45.blogskine.net/blog/entry/christine-pantyhose/ christine pantyhose http://agenda-setting-44.alumblogs.net/node/setting-business-malaysia/ setting business malaysia http://costantino-kavafis-38.mygreatblogs.net/2008/08/video-porno-costantino/ video porno costantino http://escort-passione-79.blogskine.net/2008/08/20/escortforum-com/ escortforum com http://david-shivram-47.alumblogs.net/2008/09/david-ivy/ david ivy http://marcuzzi-35.blogskine.net/node/oops-alessia-marcuzzi/ oops alessia marcuzzi

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van ${\mathbb{𝔼}}^2$ of ${\mathbb{𝔼}}^3$ moet classificeren.
2. Definieer rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^2$ en ${\mathbb{𝔼}}^3$.
3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
4. • Definieer schroefbeweging en rotatie in ${\mathbb{𝔼}}^3$ en geef uitgebreid commentaar.
   • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van ${\mathbb{𝔼}}^3$ een translatie of schroefbeweging is.
5. Zij $F:{\mathbb{𝔼}}^n\to {\mathbb{𝔼}}^n$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p,q\in {\mathbb{𝔼}}^n$.
6. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie $t_b$ zodat
   • $F=t_b\circ G$
   • $V(G)\ne \mathrm{\varnothing }$
   • $G_{*}b=b$

   Bovendien is dan ook $t_b\circ G=G\circ t_b$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*}-I)$.

Krommen

1. Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
2. Bewijs dat een reguliere kromme in ${\mathbb{𝔼}}^3$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
3. • In ${\mathbb{𝔼}}^2$. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
   • Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
4. • Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
   • Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
5. • Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
   • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
6. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
7. Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Tussentijdse toetsen

2006-04-??

1. Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^4$:
   $x_1-x_3-x_4=-1$
   $x_1+x_2-2x_3=1$
   $x_2-x_3+x_4=2$
   $x_1+3x_2-4x_3+2x_4=5$
2. Zij S een niet-lege deelverzameling van ${\mathbb{𝔸}}^n$. Toon aan: S is een affiene deelruimte van ${\mathbb{𝔸}}^n$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
3. Zij b, c twee vaste punten in ${\mathbb{𝔸}}^2$ en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
   • analytisch;
   • synthetisch.

   (Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)