Examens

Juni 2006

Dit is het examen van 12 juni 2006: Bestand:Algebraische meetkunde 20060612.pdf --Domi 16 jun 2006 15:43 (CEST) Het vak is misschien wel iet of wat in flux, dus het kan zijn dat ie volgend jaar andere dingen ziet en dus ook andere dingen zal vragen...

16 januari 2009

Theorie

• Zij ${\displaystyle f,g\in \mathbb{ℝ}(t)}$ en ${\displaystyle \lambda \in \mathbb{ℝ}\setminus \{0,1\}}$ zodat ${\displaystyle g^2=f(f-1)(f-\lambda )}$. Bewijs dat ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ constant zijn.
• Zij ${\displaystyle V\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^n,W\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^m}$ variëteiten over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
  • de veeltermafbeeldingen ${\displaystyle f:V\to W}$
  • de ${\displaystyle k}$-algebrahomomorfismes ${\displaystyle \phi :k[W]\to k[V]}$.
• Formuleer
  • de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
  • de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
  • de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.

Oefeningen

• • Toon aan dat de Plückercoördinaten van het stelsel gegeven door ${\displaystyle d_{12}{x}_0-d_{02}{x}_1+d_{01}{x}_2=0}$ en ${\displaystyle -d_{31}{x}_0-d_{03}{x}_1+d_{01}{x}_3}$ gelijk zijn aan ${\displaystyle (d_{01}:d_{02}:d_{03}:d_{23}:d_{31}:d_{12})}$.
  • Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3. Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1. Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
• Zij ${\displaystyle k}$ een algebraïsch gesloten veld en zij ${\displaystyle V=V(XW-YZ)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^4}$.
  • Bewijs dat ${\displaystyle V}$ een irreducibele affiene variëteit is.
  • Definieer de rationale functie ${\displaystyle f=x/y}$ op ${\displaystyle V}$. Bepaal het domein van ${\displaystyle f}$?
• Zij ${\displaystyle V=V(F)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^2}$ een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$, met ${\displaystyle F\in k[X,Y]}$ een irreducibele veelterm en ${\displaystyle |V(F)|=+\mathrm{\infty }}$. Zij ${\displaystyle P}$ een niet-singulier punt van ${\displaystyle V}$. Bewijs dat elke rationale afbeelding ${\displaystyle f:V-\to {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^2}$ regulier is in ${\displaystyle P}$.
• Gegeven acht verschillende punten ${\displaystyle P_1,P_2,\cdots ,P_8}$ in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?