Professor Nicaise geeft vanaf academiejaar 2009-2010 dit vak. Hij heeft een nieuwe cursus geschreven met veel oefeningen. Op het einde van hoofdstuk 4 staat een uitgebreide oefening die als practicum gebruikt werd. Het examen is gedeeltelijk mondeling: Hij neemt je mee naar een ander lokaal waar je een stuk van het practicum mag uitleggen. Er zijn dan ook nog 5 gewone vragen die schriftelijk te beantwoorden zijn. De eerste drie hiervan kwamen letterlijk uit de cursus, dus het is belangrijk om deze oefeningen voor te bereiden. Oorspronkelijk wou de prof het examen 3 uur laten duren, maar het heeft uiteindelijk 4 uur geduurd.

Examens

Januari 2011

k is an algebraically closed field

• Practicum
• Exercise 5.6.3: Let X be a quasi-projective k-variety, and x a point of X. The local ring ${\displaystyle {{𝒪}}_{X,x}}$ of X at x is a domain if and only if x is contained in exactly one irreducible component of X. (Hint: reduce to the case where X is affine.)
• Excercise 5.6.12: Consider the subvariety ${\displaystyle X={\mathbb{𝔸}}_k^2\setminus \{(0,0)\}}$ of ${\displaystyle {\mathbb{𝔸}}_k^2}$. Prove that the map ${\displaystyle {𝒪}({\mathbb{𝔸}}_k^2)\to {𝒪}(X):f\mapsto f{|}_X}$ is an isomorphism. Conclude that X is not affine.
• Let ${\displaystyle Q=Z(xy-zw)\subseteq {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^3}$ be a closed subvariety.
  • Let T be a topological space and ${\displaystyle {𝒰}}$ an open cover of T. Show that the topological dimension of T is equal to ${\displaystyle \sup \{\text{topdim}(U)|U\in {𝒰}\}}$
  • Exercise 5.4.8(2): Let n be an element of ${\displaystyle {\mathbb{\mathbb{N}}}_0}$. A hypersurface in ${\displaystyle {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^n}$ is a closed subvariety of pure dimension n-1. Show that these hypersurfaces are precisely the subsets of the form Z(f), with f a non-constant homogeneous polynomial in ${\displaystyle k[x_0,\dots ,x_n]}$.
  • A plane projective curve is a hypersurface in ${\displaystyle {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^2}$. Show the following weak version of Bezout's theorem: two plane projective curves intersect. (Hint: use Exercise 5.4.8(3))

Januari 2010

• Practicum:
• Exercises 3.1.18 (1): A minimal prime ideal of a ring is a prime ideal of height zero. Let R be a Noetherian ring. Prove that R has finitely many minimal prime ideals ${\displaystyle {\mathfrak{𝔓}}_1,\dots ,{\mathfrak{𝔓}}_r}$, and that the irreducible components of spec R are the closed subsets ${\displaystyle V({\mathfrak{𝔓}}_1),\dots ,V({\mathfrak{𝔓}}_r)}$
• Excercise 5.6.12: Consider the subvariety ${\displaystyle X={\mathbb{𝔸}}_k^2\setminus \{(0,0)\}}$ of ${\displaystyle {\mathbb{𝔸}}_k^2}$. Prove that the map ${\displaystyle {𝒪}({\mathbb{𝔸}}_k^2)\to {𝒪}(X):f\mapsto f{|}_X}$ is an isomorphism. Conclude that X is not affine.
• Exercise 5.6.16: Let X be an irreducible quasi-projective k-variety of dimension n. Show that X is birationally equivalent to a hypersurface in ${\displaystyle {\mathbb{𝔸}}_k^{n+1}}$.
• Let f be a non-constant homogenuous polynomial in ${\displaystyle k[x_0,\dots ,x_n]}$. Let H be the closed subvariety ${\displaystyle Z(f)\subseteq {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^n}$ and Y a closed subvariety of ${\displaystyle {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^n}$ of dimension at least one. Prove that the intersection of H and Y is non-empty. (Hint: try to reduce to the affine case)
• Let ${\displaystyle Q=Z(xy-zw)\subseteq {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^3}$ be a closed subvariety.
  • Show that there exists two disjoint lines in Q.
  • Show that Q is not isomorphic to the projective plane.
  • Show that Q is birationally equivalent to the projective plane.

Oude Examens

Juni 2006

Dit is het examen van 12 juni 2006: Bestand:Algebraische meetkunde 20060612.pdf --Domi 16 jun 2006 15:43 (CEST) Het vak is misschien wel iet of wat in flux, dus het kan zijn dat ie volgend jaar andere dingen ziet en dus ook andere dingen zal vragen...

16 januari 2009

Theorie

• Zij ${\displaystyle f,g\in \mathbb{ℝ}(t)}$ en ${\displaystyle \lambda \in \mathbb{ℝ}\setminus \{0,1\}}$ zodat ${\displaystyle g^2=f(f-1)(f-\lambda )}$. Bewijs dat ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ constant zijn.
• Zij ${\displaystyle V\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^n,W\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^m}$ variëteiten over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen
  • de veeltermafbeeldingen ${\displaystyle f:V\to W}$
  • de ${\displaystyle k}$-algebrahomomorfismes ${\displaystyle \phi :k[W]\to k[V]}$.
• Formuleer
  • de definitie van de lokalisatie van een ring t.o.v. een multiplicatief gesloten deel van die ring
  • de meetkunde interpretatie van de stelling van Lüroth (de stelling is gegeven)
  • de definitie van de homogene coördinatenring van een projectieve variëteit.

Oefeningen

• • Toon aan dat de Plückercoördinaten van het stelsel gegeven door ${\displaystyle d_{12}{x}_0-d_{02}{x}_1+d_{01}{x}_2=0}$ en ${\displaystyle -d_{31}{x}_0-d_{03}{x}_1+d_{01}{x}_3}$ gelijk zijn aan ${\displaystyle (d_{01}:d_{02}:d_{03}:d_{23}:d_{31}:d_{12})}$.
  • Iets over blowup bij de kromme y^2=x^3. Geef de vergelijking van E en van de strict transform voor V_0 en V_1. Snijden ze elkaar transversaal in de intersectiepunten?
• Zij ${\displaystyle k}$ een algebraïsch gesloten veld en zij ${\displaystyle V=V(XW-YZ)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^4}$.
  • Bewijs dat ${\displaystyle V}$ een irreducibele affiene variëteit is.
  • Definieer de rationale functie ${\displaystyle f=x/y}$ op ${\displaystyle V}$. Bepaal het domein van ${\displaystyle f}$?
• Zij ${\displaystyle V=V(F)\subseteq {\mathbb{𝔸}}_k^2}$ een affiene variëteit over een algebraïsch gesloten veld ${\displaystyle k}$, met ${\displaystyle F\in k[X,Y]}$ een irreducibele veelterm en ${\displaystyle |V(F)|=+\mathrm{\infty }}$. Zij ${\displaystyle P}$ een niet-singulier punt van ${\displaystyle V}$. Bewijs dat elke rationale afbeelding ${\displaystyle f:V-\to {\mathbb{\mathbb{P}}}_k^2}$ regulier is in ${\displaystyle P}$.
• Gegeven acht verschillende punten ${\displaystyle P_1,P_2,\cdots ,P_8}$ in het projectieve vlak waarvan er vier collineair zijn, maar geen vijf. Wanneer bepalen deze acht punten onafhankelijke voorwaarden op de coëfficiënten van derdegraadskrommen in het projectieve vlak?