Numerieke Wiskunde

Examenvragen Numerieke Wiskunde

Hieronder een aantal examenvragen die van een aantal bronnen zijn samengeraapt...
Deze kunnen onduidelijk, onvolledig, onmogelijk,... zijn...
De opmaak is niet altijd helemaal in orde

Examenvraag 1

Gegeven een programma

som = 0.0
for i = 0.0:0.1:1.0
verschil = i - som % == 0
som = som + 0.1

end

Output:

verschil = 0
verschil = 0
..
verschil = 1.1.. e-15

Verklaar waarom het verschil plots niet meer gelijk is aan 0. Waarvoor staat dat getal?
--> Theeft iets te maken met de voorstelling van 0.1 int binair en het verschil in berekening tussen 'sum' en 'i'.

Examenvraag 2

Je krijgt de QR ontbinding van een matrix A, en Q'.b.
gevraagd: ||r|| en hoe zou je x bepalen dat hoort bij die ||r||.
(staat niet in boek, maar in slides bij toepassingen van factorisaties, kleinste kwadratenbenadering)

Examenvraag 3

Je krijgt een paar grafiekjes en maple code over Newton Rapshon en de vereenvoudigde Newton Raphson (niet lineaire stelsels). Je krijgt een 4 tal kleine "verklaar waarom" vraagskes

Examenvraag 4

laatste vraag van de examenvragen in de winabundel (Die over het bepalen van eigenwaarden met de methode van de machten. Je moet die grafiek kunnen verklaren, meer specifiek waarom het in het begin naar 2 lijkt te convergeren, terwijl het naar 3 moet gaan)

Examenvraag 5

Maple printout
p1=(x-2)(x-4)... (x-30)=PROD(i=1..15)(x-xi) met xi=2*i
p2=p1
uitgewerkt: x15+b14x14+...+b0=SOMi=0..15(bixi) [met bi gegeven constanten]

die twee geplot.
een keer van interval x=2..6
een keer van interval x=6..20
een keer van interval x=20..30
(de fout in het derde interval was veel groter dan in het eerste interval)
Waarom is er bij grote x een groter verschil tussen de 2, geef exacte formule voor fout.

Examenvraag 6

Er is een functie van de vorm p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... +an*x^n (n is niet gekend)
p(0) = 5
p(1) = 9
p(2) = 15
p(3) = 18

Gegeven dat alle gedeelde differenties van de vierde graad 1 zijn.
Geef a3.
Aangezien alle gedeelde differenties van graad vier gelijk zijn aan 1, kan je eenvoudig inzien (gedeelde diff. berekenen) dat al die van graad 5 gelijk zijn aan 0. Je kent dus de graad van de interpollerende veelterm. Dan is het gewoon een kwestie van de Newtonveelterm invullen met gedeelde differenties die je eenvoudig berekent. Een weggevertje dus.

Examenvraag 7

Maple printout
Newton Raphson.
gegeven: f(x), df(x)
plot van de fout voor a=-1 (naar nulpunt -0.3....)
geef de convergentiesnelheid in detail.

Examenvraag 8

gegeven een 2-dimensionaal lineair stelsel Ax = b met

A = [ (alfa+1)   1  ]
    [ alfa       1  ]

We gebruiken de methode van Jacobi om een nulpunt te vinden. Bepaal alle waarden van alfa waarvoor de methode van Jacobi convergeert ( voor alle startwaarden ).

Examenvraag 9

Gegeven een hele hoop mapleuitvoer.
Er is een soort Wilkinsonachtige veelterm geplot ( product voor i van 1 tot vijftien van (x-2i) ).
Door afrondingsfouten op de coëfficiënten krijg je enorme fouten in de plot ( 10^13 in sommige van de nulpunten ), vooral bij de grotere nulpunten.

De vraag is hoe het komt dat de fouten groter zijn voor grotere nulpunten. Als bijvraag moest ik verklaren waarom de fout voor vb. x=28 van de orde 10^13 is en van welke orde de fout dan is voor x = 4. ( dat laatste zag je niet op de grafiek, omdat de fout heel klein was tegenover de grootte van de functie zelf ).

Een beetje uitwerking van mezelf, omdat dit niet makkelijk is, en we zoiets niet direct gezien hebben in de oefenzittingen:
noem r(x) de veelterm met coëfficiënten b_i = a_i(1+epsilon_i).
Dan geldt: r(x)-p(x) = som voor i van 1 tot 15 van (epsilon_i*a_i*x^i).
Neem nu epsilon = max epsilon_i. Dan moet je epsilon buiten haakjes halen, en het is dan heel belangrijk en niet voor de hand liggend dat je absolute waarden moet toevoegen in de som, omdat elke epsilon apart zowel positief als negatief kan zijn.
Dus r(x)-p(x) = epsilon* som voor i van 1 tot 15 van abs(a_i*x^i).
Dan ben je er, want dat laatste is groter als x groter wordt en zo.
Voor de grootte-ordes moet je gewoon de grootte-ordes van epsilon en van die som zoeken. Voor epsilon hangt dat af van je getalvoorstelling, en voor de som kan je het met je rekenmachine uitrekenen voor gegeven a_i en x.

Examenvraag 10

• eem p(x) = a0 + a_1 x + ... + a_n x^n n is onbekend. p(0)=4, p(1)=9, p(2)=15, p(3)=18. De gedeelde differenties van orde 4 zijn allemaal gelijk aan 1. Bepaal a_3.

• (Gedeeltelijke) Oplossing:

Stel dan volgende diff tabel op:

0  4
            5
1  9           0.5
            6       -2/3
2  15         -1.5       1 <= gegeven
            3                   0 <= deze rij is dus helemaal 0, en bijgevolg is de graad 4           
3  18                    1

Vul dan de tabel eventueel achterwaards in voor xi = 4, een veelterm van graad 4 is volledig bepaald door die 4 punten.

uit 4.26 halen we dat de coëf van x^3 = -2/3 -46

immers expand((-2/3)*(x-4)*(x-9)*(x-15)) =

                  2  3   56  2             
                  - x  + -- x  - 154 x + 360
                  3      3        

en expand((x-4)*(x-9)*(x-15)*(x-18))=

              4       3        2               
             x  - 46 x  + 735 x  - 4698 x + 9720

de andere termen hebben geen 3de graadsterm.

Examenvraag X

Gegeven nog een hoop maple-uitvoer. Het gaat over een vijfdegraadsveelterm met een nulpunt in -0.31. Er wordt Newton-Raphson gebruikt om dat nulpunt te berekenen, en je krijgt een logaritmische plot van de fout. De plot is een heel normale, typische plot voor kwadratische convergentie.

De vraag is: verklaar deze grafiek ( van de fout dus ). Wat is de convergentie-snelheid ?\" Als bijvraag kreeg ik \"het aantal juiste beduidende cijfers verdubbelt bij elke stap, hoe zie je dat in de grafiek ?.

Examenvraag 11

Gegeven: A,b en twee berekende x matrices: Ax=b. De resultaten liggen ver uit elkaar. Bespreek stabiliteit van de methodes als machinenauwkeurigheid 10^-15 is.

Examenvraag 12

• Vraag: Veelterm p(x) met p(-1)=p(0)=p(1) en p'(0)=1. Geef alle veeltermen van zo laag mogelijke graad die hieraan voldoen. (Antwoord: p(0)+x-x³)

• Oplossing:

de graad is 3 (2 punten is graad 1, 3 is graad 2, en die afgeleide zorgt voor nog een graad) analoog met het stelsel op pag 118 krijgt men

a0 -a1 +a2 -a3 = p(0) a0 = p(0) a0 + a1 + a2 +a3 = p(0) a1 = 1

oplossen geeft: a0 = p(0) a1 = 1 a2 = 0 a3 = -1

en dus is de oplossing p(0) +x -x^3

Examenvraag 13

Methode van het midden: bespreek grafiek, slecht geconditioneerd?

Examenvraag 14

Newton-Raphson + vereenvoudigde: bespreek een hele hoop grafieken en geef convergentiefactor en orde.

Examenvraag 15

waarom is 0.1*3 niet hetzelfde als 0.3 (= 0,1 en 0,3 worden niet juist voorgesteld)

Examenvraag 16

Stel de hermite interpolerende veelterm van graad 3 door x_0 (f_0 en f'_0) en x_1 (f_1, f'_1)

Examenvraag 17

Gegeven de methode van Newton Raphson. Verklaar de relatieve fouten grafiek van een willekeurige 5de graads veelterm met 3 nulpunten en geef de convergentiesnelheid (hint: die is 0 )

Examenvraag 18

Methode van de machten: zie examenbundel wina (hint: normalisatie beïnvloedt alleen het niet-overlopen, en NIET de componenten van je x_0 tov de andere eigenvectoren)

Examenvraag 19

(x-2)(x-4)...(x-30)
en dan diezelfde uitgewerkt.
De fouten verklaren die optreden bij de uitgewerkte veelterm.

Examenvraag 20

niet-lineaire stelsels, grafieken bespreken.

Examenvraag 21

QR factorisatie, Q, R, Q'b, etc gegeven, stond helemaal in de cursus

Examenvraag 22

Neem de examenvragenbundel mee, want daar staat de vraag helemaal in uitgewerkt (in het ding da ni in TeX is uitgewerkt). Je hebt een Wilkinsonachtige veelterm. (x-2)(x-47)...(x-18) of zo iets. Als ge die zo in matlab uitvoert, dan is da ne juiste grafiek. als ge die echter eerst laat uitrekenen, dan geeft die fouten. De fouten worden heel groot als x groter wordt. Hoe komt dat? Je moet zeker een uitwerking geven van fouten enzo. Het komt er dan op neer dat de fout drastisch groter zal worden als x groter wordt.

Examenvraag 23

Je hebt de methode van NR om een stelsel van twee niet-lineaire vgln op te lossen. Deze gaat even naar een vreemde waarde op de grafiek. Dit is omdat de startvector dicht bij een waarde ligt waar de jacobiaan singulier is (det J = 0) . Gevraagd is de convergentieorde -en factor gevraagd. Dan heb je dezelfde vgln (ook grafiekjes) van de totale stapmethode en enkelv. stapmeth. Ook is convergentieorde en -factor gevraagd. Je kan die een beetje afleiden uit het grafiekje van de rel. fout. (let op: bij de laatste was da lineair, maar 't was een randgeval of zo iets) De twee grafieken raken, dus zijn het allemaal randgevallen die ge moet geven als oplossing. Bij enkelv. stapmeth.: waarom convergeert da naar het andere punt? -> singulier gedoe van J. Hoe kunnen we dat naar het andere punt laten gaan?-> andere volgorde van vgl oplossen. Een prulvraag waar het vooral op de mondelinge verdediging aankomt.

Examenvraag 24

Je krijgt een willekeurige 8*10-matrix (A), de Q en R ervan. Ook heb je een willekeurige 8*1-vector b. Dan geven ze je Q'b=bt . Gevraagd: min_(x)||Ax-b||_ 2 tot op twee cijfers na de komma. Een methode hoe je dit moet berekenen. Naar 't schijnt iet's met kleinste waarden benadering.

Examenvraag 25

Gegeven is een functie f(x) = sin(x) in het interval (-pi,pi).
Gevraagd : geef een bovengrens op de interpolatie-fout als ge weet dat uw interpolerende veelterm p is die in n-1 interpolatiepunten interpoleert.

--> Gewoon formulekes uit het boek overschrijven + invullen en uitwerken. Gelukkig wordt uw n-de afgeleide sin() dus wordt da 1, Dus hangt die waarde enkel af van (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n). Nu wil hij wel een concrete waarde. Dan moet ge dus inzien dan (x-x_i) hoogsten 2*pi is en dan bekomt ge (2*pi)^n/n!

Examenvraag 26

Gaat over Newton-Raphson en het bepalen van sqrt(a). Ge krijgt een iteratie-functie gegeven. Gevraagd : de functie bepalen die als wortel sqrt(a) heeft. En dan wa analyseren.

--> Oefening in oefenzitting gezien, dus eigenlijk met een paar kleine aanpassingen gewoon overschrijven.

Examenvraag 27

Gegeven een matrix en een startwaarde, bespreek dan wat er gebeurt als ge de methode van de machten toepast daarop.

--> Blijkbaar is de eigenvector die ge uitkomt nul,... blablabla...??

Examenvraag 28

Examenvraag uit eerste oefenzitting

Examenvraag 29

Oef met diagonaal- en anti-diagonaalstelsel uit wina-vragen

Examenvraag 30

Stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen. Convergentiegetal en -orde bepalen.

Examenvraag 31

Matrix [ a b; c d] met
a = 10^-5
b = 10^-5
c = 3 - a
d = ab - 2 / b

Startwaarde [1; 1]

Zoek convergentiegetal en orde en waarom is er zo'n grote fout?

Examenvraag 32

matrix met op eerste rij a1, a2,..., an en dan op de diagonaal onder de hoofddiagonaal allemaal eentjes en rest van elementen zijn 0.
Gegeven is dat Lambda1 > dan alle andere eigenwaardes.
Dan is het volgende proggrammake gegeven;

Kies X^(0) willekeurig
for i = 1 tot n
X^(i) = A * X^(i-1)

Scaleer deze zodat laatste component 1 wordt

Nu moet je bewijzen dat de voorlaatste component naar Lamda1 convergeert