Lineaire algebra

Eerst zit 2003-04, wiskunde/natuurkunde

Bron: Toledo

Vraag 1

Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: ${𝒜}$ is orthogonaal $⟺A^T=A^{-1}$.

Vraag 2

Zij V een vectorruimte en zij $U_1$, $U_2$ en $U_3$ deelruimten van V.

1. Wat betekent $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$ ?
2. Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$, dan is $\dim (V)=\sum _{i=1}^3\dim (U_i)$.

Vraag 3

Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.

1. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
2. Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is.
3. Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
4. Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.

Vraag 4

Zij $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\}$ een basis van de duale ruimte V*.

1. Toon aan dat ${𝒜}:V\to V:v\to {\phi }_1(v)e_1+\cdots +{\phi }_n(v)e_n$ een lineaire afbeelding is.
2. Toon aan dat ${𝒜}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.

Vraag 5

Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met

${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ waarbij m een reële parameter is.

1. Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
2. Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
3. Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
4. Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.

Vraag 6

Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.

Vraag 7

Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als v = 0, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.