Analyse I

Eerste zit 2005-04, reeks 1

Bron: gekregen bij tussentijdse toets 2005-06

Vraag 1

Beschouw propositie 4.24 uit 'Metrische Ruimten'. Neem $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ met de gewone metriek. Veronderstel bovendien dat E open is. Bewijs dat dan ook alle samenhangende componenten van E open zijn. Aanwijzingen: 1. Is een open bol samenhangend in ${\mathbb{ℝ}}^n$?

Vraag 2

In Definitie 5.1 en Definitie 5.13 uit 'Metrische ruimten' geven we de definitie van continuïteit en van gelijkmatige continuïteit. Bespreek deze begrippen en vooral het verschil, de gelijkenissen en het verband tussen beide.

Vraag 3

Neem n = 1,2,3,... en definieer functies $h_n:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $h_n(x)=x^n$ indien x rationaal is en $h_n(x)=0$ indien x irrationaal is. Wat kan je dan allemaal vertellen over de continuïteit en de differentieerbaarheid van deze functies voor de verschillende waarden van n?

Vraag 4

We beschouwen de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ bepaald door de vergelijkingen

$x^2+y^2-z^2=0$

$3x+y-5=0$

Gebruik stelling 5.10 ('Afgeleiden II') om de punten op deze kromme te vinden die het dichtst bij de oorsprong liggen. Maak een tekening en bespreek het resultaat.

Vraag 5

Formuleer en bewijs Lemma 4.4 uit 'Integratietheorie' nauwkeurig en bespreek het resultaat.

Vraag 6

In Voorbeeld 5.4 ('Integratietheorie') hebben we een functie gedefinieerd. We weten dat ze niet continu is in (0,0). Construeer een rij punten $(x_n,y_n{)}_n$ in het domein zodat $(x_n,y_n)\to (0,0)$ maar toch niet $f(x_n,y_n)\to (0,0)$.

Vraag 7

Gebruik de formule uit Propositie 4.5 ('Speciale functies') om aan te tonen dat $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ voor elke x>0. Argumenteer nauwkeurig en volledig. Schrijf ook je bewijs netjes op.

Tweede zit 2005-04, reeks 1

Bron: gekregen bij tussentijdse toets 2005-06

Vraag 1

In het deeltje 'Metrische ruimten' hebben we Stelling 2.5 (vastepuntstelling). Is het resultaat nog juist als daarbij $\lambda =1$ toegelaten wordt? Bespreek.

Vraag 2

Beschouw een willekeurige metrische ruimte (V,d) en een deelverzameling A van V. Toon nauwkeurig aan dat het inwendige van het complement $A^C$ van A gelijk is aan het complement van de sluiting $\bar{A}$ van A (cfr. Opgave 3.16 uit 'Metrische ruimten'). Illustreer het resultaat met een voorbeeld.

Vraag 3

Definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0. Wat denk je over de volgende redenering (cfr. Opgave 5.19 uit 'Metrische ruimten'): 'Er geldt dat $f({\mathbb{ℝ}}^{+})=\mathbb{ℝ}$ en dus $f^{-1}(\mathbb{ℝ})={\mathbb{ℝ}}^{+}$. Dit geeft dan een open verzameling in $\mathbb{ℝ}$, namelijk $\mathbb{ℝ}$ zelf, zodat het inverse beeld van deze open verzameling onder f niet meer open is. Daarom is f niet continu.' Bespreek.

Vraag 4

Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^p\to {\mathbb{ℝ}}^p$ door $f(x)=\lambda x+a$ waarbij a een willekeurig element is uit ${\mathbb{ℝ}}^p$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}$. Is dan f totaal afleidbaar, in welke punten en wat is de totale afgeleide?

Vraag 5

Beschouw een gesloten en begrensd interval [a,b] in $\mathbb{ℝ}$ en een functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℂ}$. We weten dat |f| Riemann integreerbaar is als f dat is. Geldt ook het omgekeerde?

Vraag 6

Neem Toepassing 4.7.ii uit het deeltje 'Integratietheorie'. Werk dit argument meer in detail uit: Bewijs nauwkeurig dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, gedefinieerd door $f(x)=\exp (-x^2)$, oneigenlijk integreerbaar is.

Vraag 7

In het deeltje 'Speciale functies' hebben we in Propositie 4.5 een formule die we echter niet bewezen hebben. We geven wel een argument. Waarom is dit 'argument' geen nauwkeurig argument en dus niet voldoende als bewijs? Wat is het probleem?