Inleiding tot de Hogere Wiskunde

Eerste zit 2005-06

Vraag 1

a) Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.

b) Gebruik deze definitie om aan te tonen dat een reële rij $(a_n)$ convergeert als $a_n\ge 0$ voor alle $n\ge 100$ en $a_n\ge a_{n+1}$ voor alle $n\ge 2006$.

Vraag 2

a) Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$.

b) Zijn $g:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ en $h:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ afleidbare functies. Beschouw de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ gegeven door de vergelijkingen g(x,y,z) = a en h(x,y,z) = b, waarbij a en b reële constanten zijn. Laat zien dat het vectorproduct $\mathrm{\nabla }g\times \mathrm{\nabla }h$, uitgerekend in een punt op de kromme, een raakvector aan de kromme is.

Vraag 3

a) Bewijs met behulp van volledige inductie dat de identiteit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})x^k=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ geldt voor alle natuurlijke getallen n en voor alle reële getallen x in ]-1,1[.

b) Bewijs dat voor een reële veelterm p(x) van graad n geldt dat $\int e^{x}p(x)dx=e^{x}q(x)+C$ waarbij q(x) de veelterm is die gegeven wordt door $q(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{p}^{(k)}(x)=p(x)-p^{\prime }(x)+p^{″}(x)+\cdots +(-1{)}^n{p}^{(n)}(x).$

Vraag 4

Beschouw de differentiaalvergelijking $t^2{x}^{″}(t)+3t{x}^{\prime }(t)+2x(t)=0$ voor t > 0.

a) Zoek oplossingen voor de differentiaalvergelijking van de vorm $x(t)=t^{\lambda }$ met $\lambda$ een complex getal. Bepaal dan de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. (Hint: gebruik de identiteit $t^{\lambda }=e^{\lambda \ln t}$ die geldt voor alle $\lambda \in \mathbb{ℂ}$ en voor alle t > 0.)

b) Bepaal alle oplossingen waarvoor geldt dat x(1) = 0. Deze oplossingen hebben nog andere nulpunten. Bepaal al deze nulpunten.

Vraag 5

Van de volgende 5 oefeningen moeten er precies 4 worden opgelost.

a) Zij $(a_n)$ een reële rij met limiet 3 en zij $(b_n)$ een reële rij zodat $b_0=8$ en $b_{n+1}=b_n/2+a_n$ voor alle n. Bepaal de limiet van $(b_n)$.

b) Bepaal alle reële getallen A waarvoor geldt dat $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+Ax}-x)=1.$

c) Bereken de limiet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3.$

c) Bepaal de Taylorveeltermen van graad 3 in het punt 0 voor $f(x)=\ln (\cos x)$ en $g(x)={\left(\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">bgtan</mrow>}x\right)}^2$. Bereken dan de limiet Fout bij het parsen (syntactische fout): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(\cos x\right)}{\left(\textrm{bgtan}\ x\right)^2}.}

e) Bereken de integraal $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}{x}^2\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

Vraag 6

Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken: $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}:(x,y,z)\mapsto x^2-2x+y^2-4y+z^2-4z.$

a) Bepaal en classificeer alle kritieke punten van f.

b) Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door $x^2+y^2+z^2\le 36$.