Kansrekenen

Eerste zit 2005-2006, KULAK

(aan de KULAK wordt Kansrekenen gegeven door Van Assche, niet door Gijbels)

Bereken de voorwaardelijke dichtheid van de bivariate normale verdeling.

Stel $X, Y$ onafhankelijk en identiek met dichtheidsfunctie $\frac{1}{x^{2}}, x \geq 1$ . Bepaal de dichtheidsfunctie van $\frac{X}{Y}$ .

Zij $X_{1}, X_{2}, \dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Wat is de kans om oneindig vaak het patroon $(X_{k}, X_{k + 1}, X_{k + 2}, X_{k + 3}) = (1, 0, 0, 1)$ tegen te komen.
Zij $X_{1}, X_{2}, \dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Zij $B_{n}$ de gebeurtenis die $n$ opeenvolgende keren succes in het $X_{2^{n}}, X_{2^{n} + 1}, \dots, X_{2^{n + 1} - 1}$ beschrijft. Toon aan dat $P (B_{n})$ o.v. gelijk is aan $0$ als $p < \frac{1}{2}$ en $P (B_{n})$ o.v. gelijk is aan 1als $p \geq \frac{1}{2}$ . (Tip: Toon aan: $P (B_{n}) \leq 2^{n} p^{n}$ en $P (B_{n}) \geq 1 - (1 - p^{n})^{\frac{2^{n}}{n}}$ )

Welke verdelingen komen op natuurlijke wijze te voorschijn uit Bernoulli experimenten? Leg ook het verband met Poissonprocessen.

Waarom zijn karakteristieke functies zo nuttig? Leg uit aan de hand van enkele stellingen.

Bespreek de Cauchy verdeling.

Waar komt deze te voorschijn, geef belangrijke eigenschappen en karakteristieken, wat is er zo speciaal aan de Cauchy verdeling?