Meetkunde 1

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

2005-06

(Wiskunde, reeks 1)

Theorievragen:

  1. Definieer "schroefbeweging" en "rotatie" in 𝔼3 en geef uitgebreid commentaar.
    Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van 𝔼3 een translatie of schroefbeweging is.
  2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.

Oefeningen:

    • Gegeven zijn affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van 𝔸n, met ST=. Toon aan dat de dimensie van de kleinste affiene deelruimte van 𝔸n die S en T omvat gelijk is aan dim(V + W) + 1
    • Beschouw in 𝔸5 de vlakken gegeven door x2=0, x4=0, x5=1 enerzijds en x1=0, x4=1, x5=0 anderzijds. Bepaal de kleinste affiene deelruimte van 𝔸5 die deze vlakken omvat.
  1. Gegeven is de isometrie F:𝔼2𝔼2:(p1p2)(3/54/54/53/5)(p1p2)+(31).
    • Welk type isometrie uit de classificatie is F?
    • Beschrijf deze isometrie volledig: geef centrum en hoek voor een rotatie, spiegelas en translatiedeel in de richting van de as voor een schuifspiegeling.
  2. Bekijk de booglengtegeparametriseerde vlakke kromme β(s)=(0scos(lnt)dt, 0ssin(lnt)dt).
    Verifieer dat de evoluut van deze kromme eveneens booglengtegeparametriseerd is.
  3. Zij β:0+𝔼3:sβ(s) een boogelengtegeparametriseerde kromme met κβ>0 en definieer α(s)=β(s)sβ(s).
    • Verifieer dat α regulier is, maar niet noodzakelijk booglengtegeparametriseerd.
    • Stel dat α een vlakke kromme is. Bewijs dat β een cilinderschroeflijn is.

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Euclidische meetkunde

  1. Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriëntatiebewarende ofwel de oriëntatieomkerende isometrieën van 𝔼2 of 𝔼3 moet classificeren.
  2. Definieer rotatie in 𝔼2 en 𝔼3.
  3. Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
    • Definieer schroefbeweging en rotatie in 𝔼3 en geef uitgebreid commentaar.
    • Bewijs dan dat elke oriëntatiebewarende isometrie van 𝔼3 een translatie of schroefbeweging is.
  4. Zij F:𝔼n𝔼n een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle p,q𝔼n.
  5. Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist één isometrie G en juist één translatie tb zodat
    • F=tbG
    • V(G)
    • G*b=b
    Bovendien is dan ook tbG=Gtb en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van ker(F*I).

Krommen

  • Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
  • Bewijs dat een reguliere kromme in 𝔼3 een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
    1. In 𝔼2. Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
    2. Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
    1. Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
    2. Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
    1. Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
    2. Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
  • Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
  • Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.