Meetkunde II

Wie al eens examen meetkunde heeft gehad weet waaraan zich te verwachten: een uitputtingsstrijd die gemakkelijk een achttal uur kan duren, met een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen.

Examens

2006-06-19

Theorie

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in. Bespreek het geval dat P een dubbelpunt is grondig.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$.
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorvold. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t_0)=-S({\alpha }^{\prime }(t_0))$.
   3. Zij $w\in T_{p}M$ een raakvector met $||w||=1$ en zij H het vlak door p, opgespannen door $\xi (u_0,v_0)$ en w. Dan snijdt H het oppervlak M in de omgeving van p in een kromme. Stel dat $\alpha :I\to M$ een booglengteparametrisatie is van deze kromme, dus $\alpha (I)\subseteq M\cap H$ en stel dat $p=\alpha (t_0)$ en $w={\alpha }^{\prime }(t_0)$. Toon aan dat de normale kromming in de richting van w gegeven is door $k(w)=ϵ\kappa (t_0)$ waarbij $\kappa$ de kromming is van $\alpha$, $ϵ=\pm 1$, in het bijzonder is $ϵ=1$ als $\xi (t_0)=N(t_0)$ en $ϵ=-1$ als $\xi (t_0)=-N(t_0)$, met N het hoofdnormaalveld van α.
   4. Interpreteer dit resultaat. Geef in het bijzonder commentaar over de normale kromming van minimale oppervlakken.

Oefeningen

Later op de dag.