Analyse II

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof durft wel eens heel streng te verbeteren.

Examens

2007-01-19

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een begrensde, Borel-meetbare functie en zij $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie. Bewijs dat de convolutie $f*g$ continu is. Je mag hierbij gebruik maken van de variant van Lemma 4.35 waarbij $g\in {{ℒ}}^1(\mathbb{ℝ})$.
   1. Bijvraagje: kan je de uitspraak veralgemenen naar de Banachruimten ${{ℒ}}^p(\mathbb{ℝ})$ en ${{ℒ}}^q(\mathbb{ℝ})$, voor sommige waarden van p en q?
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\sin x\exp (-xy)dx$. Bewijs dat deze functie continu is.
   (Hint: behandel eerst het geval waarbij y verschillend is van 0. Het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de $2\pi$-periodische functie die voldoet aan $f(x)=\frac{1}{\pi }(x^2-x)$ voor $0\le x<2\pi$. Zij ${\left(s_n\right)}_n$ de rij van partieelsommen, zoals gedefinieerd in Lemma 4.3. Convergeert de rij ${(s_n(0))}_n$? Zo je, bepaal de limiet. Bewijs je antwoord.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha >0$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Bgtan</mrow>}\left(x^{\alpha }\right)}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4,z\le 1\}$.

2006-09-05

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   1. Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{som}\le ||A|{|}_{som}||B|{|}_{som}$
   2. Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   3. Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
      1. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
      2. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
      3. $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   4. Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met $C^1$ functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   1. Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   2. Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.