Analyse II

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof durft wel eens heel streng te verbeteren. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen. Over de bijvragen zegt hij zelf dat ze alleen maar dienen om extra punten te verdienen (of om het verschil te maken tussen bvb 9/10 en 10/10), en dus niet om punten af te trekken. Maar je hoeft vooral geen schrik te hebben!

Examens

2007-01-19

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een begrensde, Borel-meetbare functie en zij $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie. Bewijs dat de convolutie $f*g$ continu is. Je mag hierbij gebruik maken van de variant van Lemma 4.35 waarbij $g\in {{ℒ}}^1(\mathbb{ℝ})$.
   1. Bijvraagje: kan je de uitspraak veralgemenen naar de Banachruimten ${{ℒ}}^p(\mathbb{ℝ})$ en ${{ℒ}}^q(\mathbb{ℝ})$, voor sommige waarden van p en q?
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\sin x\exp (-xy)dx$. Bewijs dat deze functie continu is.
   (Hint: behandel eerst het geval waarbij y verschillend is van 0. Het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de $2\pi$-periodische functie die voldoet aan $f(x)=\frac{1}{\pi }(x^2-x)$ voor $0\le x<2\pi$. Zij ${\left(s_n\right)}_n$ de rij van partieelsommen, zoals gedefinieerd in Lemma 4.3. Convergeert de rij ${(s_n(0))}_n$? Zo ja, bepaal de limiet. Bewijs je antwoord.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha >0$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Bgtan</mrow>}\left(x^{\alpha }\right)}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4,z\le 1\}$.

2006-09-05

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   1. Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{som}\le ||A|{|}_{som}||B|{|}_{som}$
   2. Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   3. Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
      1. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
      2. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
      3. $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   4. Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met $C^1$ functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   1. Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   2. Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.