Numerieke Wiskunde

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Examenvragen Numerieke Wiskunde

Hieronder een aantal examenvragen die van een aantal bronnen zijn samengeraapt...
Deze kunnen onduidelijk, onvolledig, onmogelijk,... zijn...
De opmaak is niet altijd helemaal in orde

Hulp met wiskundesyntax vindt je hier: http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Formula

Geachte heer Van Barel heeft de neiging om deze vragen letterlijk opnieuw te vragen, zie maar dat ge deze kent dus! Maar wie de rest niet leert is nog dommer dan Jos Ghysen, en 't is niet omdat hij een tv programma gehad heeft dat gij dat ook zult hebben! Leren dus!. Oppassen voor bijvragen (if any).

Examenvraag 1

Gegeven een programma

som = 0.0
for i = 0.0:0.1:1.0
verschil = i - som % == 0
som = som + 0.1

end

Output:

verschil = 0
verschil = 0
..
verschil = 1.1.. e-15

(Syntaxverduidelijking: % en alles wat erachter komt is commentaar, geen modulo ofzo.)

Verklaar waarom het verschil plots niet meer gelijk is aan 0. Waarvoor staat dat getal?

Examenvraag 2

Je krijgt de QR ontbinding van een matrix A, en Q'.b.
gevraagd: ||r|| en hoe zou je x bepalen dat hoort bij die ||r||.

Examenvraag 3

Je krijgt een paar grafiekjes en maple code over Newton Rapshon en de vereenvoudigde Newton Raphson (niet lineaire stelsels). Je krijgt een 4 tal kleine "verklaar waarom" vraagskes

Examenvraag 4

Maple afdruk: laatste vraag van de examenvragen in de winabundel (Die over het bepalen van eigenwaarden met de methode van de machten).

Uit de matrix A = [2 1 -1; 0 3 -5; 0 0 -2] wordt de dominante eigenwaarde berekend. De startwaarden zijn: [-1.00001 1.00002 1]. Op de grafiek is zichtbaar dat er eerst naar 2 lijkt te convergeren, maar uiteindelijk toch de juiste eigenwaarde 3 gekozen wordt. Het berekenen gebeurd met de methode van de machten met normalisatie.

  • Hoe komt het dat er eerst naar 2 geconvergeerd wordt?
  • Waarom uiteindelijk toch naar 3?
  • Wat als er geen normalisatie gebruikt zou worden?

Examenvraag 5

Maple printout
p1=(x-2)(x-4)... (x-30)=PROD(i=1..15)(x-xi) met xi=2*i
p2 is p1 uitgewerkt(geexpandeert)
uitgewerkt: x15+b14x14+...+b0=SOMi=0..15(bixi) [met bi gegeven constanten, elke bi heeft een mantisse met precisie 10]

die twee geplot.
een keer van interval x=2..6
een keer van interval x=6..20
een keer van interval x=20..30
(de fout in het derde interval was veel groter dan in het eerste interval)

#Maple code om te testen
f:= (x-2)*(x-4)*(x-6)*(x-8)*(x-10)*(x-12)*(x-14)*(x-16)*(x-18)*(x-20)*(x-22)*(x-24)*(x-26)*(x-28)*(x-30);
g:=collect(f,x);
#Aangezien ik geen verschil kon zien bij mijn eigen test van de 2 functies heb ik het verschil geplot
plots[logplot]([f-g],x=2..6); 
plots[logplot]([f-g],x=6..20);
plots[logplot]([f-g],x=20..30);

De vraag is hoe het komt dat de fouten groter zijn voor grotere nulpunten. Als bijvraag moest ik verklaren waarom de fout voor vb. x=28 van de orde 10^13 is en van welke orde de fout dan is voor x = 4. ( dat laatste zag je niet op de grafiek, omdat de fout heel klein was tegenover de grootte van de functie zelf ).

Examenvraag 6

Er is een functie van de vorm p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... +an*x^n (n is niet gekend)
p(0) = 5
p(1) = 9
p(2) = 15
p(3) = 18

Gegeven dat alle gedeelde differenties van de vierde graad 1 zijn.
Geef a3.

Examenvraag 7

Maple printout
Newton Raphson.
gegeven: f(x), df(x)
plot van de fout voor a=-1 (naar nulpunt -0.3....)
geef de convergentiesnelheid in detail.

Examenvraag 8

gegeven een 2-dimensionaal lineair stelsel Ax = b met

A = [ (α+1)   1  ]
    [ α       1  ]

We gebruiken de methode van Jacobi om een nulpunt te vinden. Bepaal alle waarden van alfa waarvoor de methode van Jacobi convergeert ( voor alle startwaarden ).

Examenvraag 9

  • eem p(x) = a0 + a_1 x + ... + a_n x^n n is onbekend. p(0)=4, p(1)=9, p(2)=15, p(3)=18. De gedeelde differenties van orde 4 zijn allemaal gelijk aan 1. Bepaal a_3.

Examenvraag 10

Gegeven nog een hoop maple-uitvoer. Het gaat over een vijfdegraadsveelterm met een nulpunt in -0.31. Er wordt Newton-Raphson gebruikt om dat nulpunt te berekenen, en je krijgt een logaritmische plot van de fout. De plot is een heel normale, typische plot voor kwadratische convergentie.

De vraag is: verklaar deze grafiek ( van de fout dus ). Wat is de convergentie-snelheid ?\" Als bijvraag kreeg ik \"het aantal juiste beduidende cijfers verdubbelt bij elke stap, hoe zie je dat in de grafiek ?.

Examenvraag 11

Gegeven: A,b en twee berekende x matrices: Ax=b. De resultaten liggen ver uit elkaar. Bespreek stabiliteit van de methodes als machinenauwkeurigheid 10^-15 is.

Examenvraag 12

  • Vraag: Veelterm p(x) met p(−1)=p(0)=p(1) en p′(0)=1. Geef alle veeltermen van zo laag mogelijke graad die hieraan voldoen. (Antwoord: p(0)+x-x³)

Examenvraag 13

Methode van het midden: bespreek grafiek, slecht geconditioneerd?

Examenvraag 14

Newton-Raphson + vereenvoudigde: bespreek een hele hoop grafieken en geef convergentiefactor en orde.

Examenvraag 15

waarom is 0.1*3 niet hetzelfde als 0.3 (= 0,1 en 0,3 worden niet juist voorgesteld)

  • Zie examenvraag 1

Examenvraag 16

Stel de hermite interpolerende veelterm van graad 3 door x0 (f0 en f'0) en x1 (f1, f'1)

Examenvraag 17

Gegeven de methode van Newton Raphson. Verklaar de relatieve fouten grafiek van een willekeurige 5de graads veelterm met 3 nulpunten en geef de convergentiesnelheid (hint: die is 0 )

Examenvraag 18

Methode van de machten: zie examenbundel wina (hint: normalisatie beïnvloedt alleen het niet-overlopen, en NIET de componenten van je x_0 tov de andere eigenvectoren)

Examenvraag 19

Dubbel met examenvraag 5
(x-2)(x-4)...(x-30)
en dan diezelfde uitgewerkt.
De fouten verklaren die optreden bij de uitgewerkte veelterm.

Examenvraag 20

niet-lineaire stelsels, grafieken bespreken.

Examenvraag 21

Dubbel met examenvraag 2
QR factorisatie, Q, R, Q'b, etc gegeven, stond helemaal in de cursus

Examenvraag 22

Dubbel met examenvraag 5
Neem de examenvragenbundel mee, want daar staat de vraag helemaal in uitgewerkt (in het ding da ni in TeX is uitgewerkt). Je hebt een Wilkinsonachtige veelterm. (x-2)(x-47)...(x-18) of zo iets. Als ge die zo in matlab uitvoert, dan is da ne juiste grafiek. als ge die echter eerst laat uitrekenen, dan geeft die fouten. De fouten worden heel groot als x groter wordt. Hoe komt dat? Je moet zeker een uitwerking geven van fouten enzo. Het komt er dan op neer dat de fout drastisch groter zal worden als x groter wordt.

Examenvraag 23

Je hebt de methode van NR om een stelsel van twee niet-lineaire vgln op te lossen. Deze gaat even naar een vreemde waarde op de grafiek. Dit is omdat de startvector dicht bij een waarde ligt waar de jacobiaan singulier is (det J = 0) . Gevraagd is de convergentieorde -en factor gevraagd. Dan heb je dezelfde vgln (ook grafiekjes) van de totale stapmethode en enkelv. stapmeth. Ook is convergentieorde en -factor gevraagd. Je kan die een beetje afleiden uit het grafiekje van de rel. fout. (let op: bij de laatste was da lineair, maar 't was een randgeval of zo iets) De twee grafieken raken, dus zijn het allemaal randgevallen die ge moet geven als oplossing. Bij enkelv. stapmeth.: waarom convergeert da naar het andere punt? -> singulier gedoe van J. Hoe kunnen we dat naar het andere punt laten gaan?-> andere volgorde van vgl oplossen. Een prulvraag waar het vooral op de mondelinge verdediging aankomt.

Examenvraag 24

Je krijgt een willekeurige 8*10-matrix (A), de Q en R ervan. Ook heb je een willekeurige 8*1-vector b. Dan geven ze je Q'b=bt .
Gevraagd: min_(x)||Ax-b||_ 2 tot op twee cijfers na de komma.
Een methode hoe je dit moet berekenen.

Examenvraag 25

Gegeven is een functie f(x) = sin(x) in het interval (-pi,pi).
Gevraagd : geef een bovengrens op de interpolatie-fout als ge weet dat uw interpolerende veelterm p is die in n-1 interpolatiepunten interpoleert.

Examenvraag 26

Gaat over Newton-Raphson en het bepalen van sqrt(a). Ge krijgt een iteratie-functie gegeven. Gevraagd : de functie bepalen die als wortel sqrt(a) heeft. En dan wa analyseren.

Examenvraag 27

Gegeven een matrix en een startwaarde, bespreek dan wat er gebeurt als ge de methode van de machten toepast daarop.

Examenvraag 28

Examenvraag uit eerste oefenzitting

Examenvraag 29

Zij A een matrix waarbij alle elementen nul zijn behalve de elementen op de diagonaal en antidiagonaal. Schrijf een algoritme om het stelsel AX=B op te lossen.

Examenvraag 30

Stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen. Convergentiegetal en -orde bepalen.

Examenvraag 31

Matrix [ a b; c d] met
a = 10^-5
b = 10^-5
c = 3 - a
d = ab - 2 / b

Startwaarde [1; 1]

Zoek convergentiegetal en orde en waarom is er zo'n grote fout?

Examenvraag 32

matrix met op eerste rij a1, a2,..., an en dan op de diagonaal onder de hoofddiagonaal allemaal eentjes en rest van elementen zijn 0.
Gegeven is dat λ1 > dan alle andere eigenwaardes.
Dan is het volgende proggrammake gegeven;

Kies X^(0) willekeurig
for i = 1 tot n
X^(i) = A * X^(i-1)

Scaleer deze zodat laatste component 1 wordt

Nu moet je bewijzen dat de voorlaatste component naar λ1 convergeert


Examen 19/01/2006

1) we hebben de functie f(x):exp(x^2)-1-x^2. Is deze numeriek stabiel? Bereken f(10^(-4)) met 10 beduidende juiste cijfers.

2) bewijs via de interpolatie van Lagrange dat voor -h<x<h geldt: f'(x)= (hier stond een vgl met f(0) en f(h) f(-h) , kortom gewoon de afgeleide van de Langrange veelterm die je berekent rond de punten -h,0 en h) +D(n)(x) en geef de laatste term exact. Mijn bijvraag:Waar is die D het grootst?

3) we hebben een functie F(x)=ax(1-x) en kiezen a=1/2. We zoeken de vaste punten van F, afh van a. Dan staat er een programmaatje gegeven in matlab en ne grafiek en de startwaarde is 2.01 en ge ziet da ge bij de eerste stap superdicht zit bij een vast punt, maar toch divergeert da. De vraag: leg grafiek uit en voor welke startwaarden krijgen we convergentie? Mijn bijvragen: hoe is de convergentie: lineair of superliniear of...? En wat is de convergentiefactor?

4) dat gaat over die factorisatie met singuliere waarden. Ze geven u al de nodige matrices (dus die met de singuliere waarden, V,U,b,Ub,...). De vraag is: geef min over x van de 2-norm van Ax-b tot op 2 beduidende cijfers en leg dan uit hoe je de x zou berekenen waarvoor dit min bereikt wordt (keigoe te doen met u slides daarover)


Examen 26-01-2006 (wiskunde)

  1. Gegeven de formule 1+x3−1+x2. Bespreek de stabiliteit van deze formule voor x=10−5. Kan je de waarde voor x=10−5 met zeven beduidende cijfers bepalen?
  2. x(k+1)=exp⁡(ax(k)) met a reëel: bespreek vaste punten, convergentie en stopcritetium.
  3. Een hele hoop Maple-code over het oplossen van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekende, met de methode van Newton-Raphson en die van Jacobi.
    • Waarom geeft de methode van Newton-Raphson al na een stap de juiste oplossing, of afrondingsfouten na?
    • Bepaal de convergentiefactor en -orde van de methode van Jacobi.
    • Waarom convergeert de methode van Jacobi zo traag?
  4. Bespreek de condititie van de kleinste-kwadratenmethode.
Overgenomen van "http://examens.wina.be/index.php?title=Numerieke_Wiskunde&oldid=6404"