Analyse II

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof durft wel eens heel streng te verbeteren. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen. Over de bijvragen zegt hij zelf dat ze alleen maar dienen om extra punten te verdienen (of om het verschil te maken tussen bvb 9/10 en 10/10), en dus niet om punten af te trekken. Maar je hoeft vooral geen schrik te hebben!

Examens

2007-01-26

1. Herinner de definities van de Beta en Gammafunctie (waren gegeven maar zijn vlug te vinden in de cursus analyse I). Bewijs dat $\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}^{x}B(x,y)=\mathrm{\Gamma }(x)$ (Hint: De substitutie $x\mapsto x/y$ doet wonderen.)
2. Toon aan dat $\sum _{k=-m}^n\hat{f}(k)e^{ikx}=\underset{-pi}{\overset{pi}{\int }}f(x-y)D_{n,m}(y)dy$ met $D_{n,m}(y)=\frac{e^{i(n+\frac{1}{2})y}-e^{-i(m+\frac{1}{2})y}}{4\pi i\sin \frac{y}{2}}$. Toon aan dat deze reeks convergeert naar $\frac{1}{2}(f(x+)+f(x-))$ indien f linker- en rechterafleidbaar is. Je moet hierbij geen exact bewijs geven, eerder zorgvuldig argumenteren dat het bewijs van de stelling van Dirichlet mits een kleine aanpassing bruikbaar is.
3. Bekijk de Hilbertruimte $L^2([0,1],\lambda )$, met volgende vectoren e, f en h: $e(t)=1f(t)=th(t)=t^2$. Noteer K = span{e,f}. Bereken $P_K(h)$
4. Wanneer is de functie $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:f(x)=\frac{1-e^{-t}}{t^{\alpha }}$ integreerbaar?
5. V(x,y,z) = (0,0,1-z) en $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+\frac{y^2}{4}<(1-z{)}^2,0<z<1\}$. Verifieer de divergentiestelling.

2007-01-22 (Kortrijk)

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to [0,+\mathrm{\infty }]$ en zij $A=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2|0<y<f(x)\}$.
   Bewijs dat A een Borelverzameling is en dat $\lambda (A)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x)dx$.
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\arctan x\exp (-xy)dx$.
   Bewijs dat deze functie continu is in y, als y verschillend is van 0. Bewijs ook dat de functie discontinu is in 0.
   (Hint: het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Geef de beste benadering in ${\mathbf{𝐋}}^2([0,2\pi ],\lambda )$ voor $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto x$ als lineaire combinatie van de twee functies $e:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \sin x$ en $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \cos 3x$.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,1]\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\alpha -\cos x}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z=1,z\ge 0\}$.

2007-01-19

1. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een begrensde, Borel-meetbare functie en zij $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℂ}$ een integreerbare functie. Bewijs dat de convolutie $f*g$ continu is. Je mag hierbij gebruik maken van de variant van Lemma 4.35 waarbij $g\in {{ℒ}}^1(\mathbb{ℝ})$.
   1. Bijvraagje: kan je de uitspraak veralgemenen naar de Banachruimten ${{ℒ}}^p(\mathbb{ℝ})$ en ${{ℒ}}^q(\mathbb{ℝ})$, voor sommige waarden van p en q?
2. Definieer de functie $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}:y\mapsto \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\sin x\exp (-xy)dx$. Bewijs dat deze functie continu is.
   (Hint: behandel eerst het geval waarbij y verschillend is van 0. Het geval waarbij y = 0 is een beetje moeilijker: je kan in dat geval de substitutie $x\mapsto x/y$ gebruiken.)
3. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ de $2\pi$-periodische functie die voldoet aan $f(x)=\frac{1}{\pi }(x^2-x)$ voor $0\le x<2\pi$. Zij ${\left(s_n\right)}_n$ de rij van partieelsommen, zoals gedefinieerd in Lemma 4.3. Convergeert de rij ${(s_n(0))}_n$? Zo ja, bepaal de limiet. Bewijs je antwoord.
4. Bepaal alle waarden van $\alpha >0$ en $\beta \in \mathbb{ℝ}$ zodanig dat de functie $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Bgtan</mrow>}\left(x^{\alpha }\right)}{x^{\beta }}$ integreerbaar is.
5. Verifieer de stelling van Stokes voor het vectorveld $\mathbf{𝐕}(x,y,z)=(0,x,0)$ en het oppervlak $K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4,z\le 1\}$.

2006-09-05

1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
   1. Bewijs het lemma op p 17: $||AB|{|}_{som}\le ||A|{|}_{som}||B|{|}_{som}$
   2. Onderaan p 18 concluderen we dat ${\varphi }_y$ een contractie is. Voor welke metriek is dit?
   3. Brengen volgende verzamelingen de Borel-$\sigma$-algebra op ${\mathbb{ℝ}}^2$ voort? Bewijs.
      1. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}$
      2. $\{[a,b]\times \mathbb{ℝ}|a,b\in \mathbb{ℝ}\}\cup \{\mathbb{ℝ}\times [c,d]|c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
      3. $\{[a,-a]\times [c,d]|a,c,d\in \mathbb{ℝ}\}$
   4. Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
2. Neem $D_{\alpha }=\{0<y,0<x<y^{\alpha }<1\}\subset {\mathbb{ℝ}}^2$. Neem $f=\frac{1}{(x+y{)}^2}$. Voor welke $\alpha$ is $\underset{D_{\alpha }}{\int }fd\lambda <\mathrm{\infty }$?
3. Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met $C^1$ functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
4. Stel $V=(3x,2z,1)$, $K=\{(x,y,z)\in \mathbb{ℝ}:x^2+y^2\le z^2/4\}$
   1. Bewijs dat $\underset{\delta K}{\int }\mathbf{𝐕}\cdot \mathbf{𝐧}=3$.
   2. Verifieer de divergentiestelling voor $\mathbf{𝐕}$ en $K$.