Kansrekenen

Eerste zit 2006-2007

Theorie

We hadden een uur en drie kwartier de tijd voor de theorievragen: doorwerken dus.

Vraag 1

Zijn $X_n,Y_n,X,Y$ stochastische variabelen zodat $X_n\to X,Y_n\to Y$, waarbij we $\to$ noteren voor convergentie in kans.

Bewijs dat $X_n+Y_n\to X+Y$ en $X_n{Y}_n\to XY$.

Vraag 2

Zij $\mathrm{\Omega }$ een verzameling en zij $B$ een sigma-algebra op $\mathrm{\Omega }$. Geef de definitie van een kansmaat op $(\mathrm{\Omega },B)$.

Zij $(\mathrm{\Omega },B,P)$ een kansruimte. Bewijs de volgende uitspraken:

• Als $A_1,A_2,\cdots ,A_N$ paarsgewijs disjuncte elementen van $B$ zijn, dan is $P\left({\cup }_{1\le j\le N}{A}_j\right)=\sum _{1\le j\le N}P\left(A_N\right)$.
• Zij $A\in B$. Bewijs dat $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
• Zij $\left(A_n\right)$ een monotone rij van elementen van $B$. Bewijs dat $\underset{n}{\lim }P\left(A_n\right)=P\left(\underset{n}{\lim }{A}_n\right)$.

Vraag 3

• Zij $X$ een s.v. met uniforme verdeling op $[0,1]$. Wat is de verdeling van $X^2$?
• Stel $X_1,X_2$ zijn onafhankelijke s.v. Hoe zou je te werk gaan om de verdeling van $X_1+X_2$ te vinden?
• Zijn $X_1,X_2,\cdots ,X_m$ onafhankelijke s.v. met een ${\chi }^2$-verdeling met $n$ vrijheidsgraden. Wat is de verdeling van $\sum _{1\le j\le m}{X}_j$?

Vraag 4

Zijn $X_1,X_2,\cdots$ s.v. met dezelfde verdeling als de s.v. $X$. Stel $E(X)=\mu ,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Var</mrow>}(X)={\sigma }^2<+\mathrm{\infty }$.

Definieer $S_n=\sum _{1\le j\le n}{X}_j$. Bewijs dat $\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\to Z$ in verdeling, waarbij Z standaard normaal verdeeld is.

Oefeningen

Vraag 1

Zijn $X,Y$ s.v. met gemeenschappelijke dichtheidsfunctie $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-x)$ als $x\ge \frac{1}{2}{y}^2$ en $f_{X,Y}(x,y)=0$ elders.

• Bewijs dat $Y$ standaard normaal verdeeld is. Bepaal de verwachtingswaarde en variantie.
• Bepaal de marginale verdeling van $X$ en ook $E\left(\sqrt{|X|}\right)$.
• Stel $U=X-\frac{1}{2}{Y}^2$. Bewijs dat $U\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Exp</mrow>}(\lambda )$ voor een zekere $\lambda$ en bepaal $\lambda$.
• Druk $X$ uit in functie van $Y$ en $U$ en bepaal zo $EX$.
• Bewijs dat $E(X|Y=y)=1+\frac{1}{2}{y}^2$.
• Bepaal $E(X{Y}^{10}|Y=\sqrt{2})$.

Vraag 2

In je jaszak zitten drie munten. Bij munt 1 heb je 0.1 kans om kop te gooien, bij munt 2 bedraagt die kans 0.5 en bij munt 3 is het 0.9.

Veronderstel dat je een willekeurige munt uit je jaszak haalt en dat je hem twee keer opwerpt. Noteer met $C_i$ de gebeurtenis dat je de $i$-de munt uit je jas haalt ($i\in \{1,2,3\}$) en met $H_j$ de gebeurtenis dat de $j$-de worp kop levert ($j\in \{1,2\}$).

• Bepaal $P(C_i\cap H_1)$ voor elke $i$.
• Bepaal $P\left(H_1\right)$.
• Bepaal $P\left(C_i|H_1\right)$ voor elke $i$.
• Bepaal $P\left(H_2|H_1\right)$.

Vraag 3

Zij $X$ een s.v. met dichtheidsfunctie $f_X(x)=3x^2$ voor $0\le x\le 1$ en $f_X(x)=0$ elders.

Zijn $X_1,X_2,\cdots$ onafhankelijke s.v. met de verdeling van $X$.

Noteer voor elke $n$: $X_{1:n}=\min (X_1,\cdots ,X_n)$ en $X_{n:n}=\max (X_1,\cdots ,X_n)$.

• Toon aan dat $X_{n:n}\to 1$, waarbij we convergentie in kans bedoelen.
• Toon aan dat $X_{1:n}\to 0$, waarbij we opnieuw convergentie in kans bedoelen.
• Toon aan dat $X_{n:n}+\cos X_{1:n}\to 2$, waarbij we nog maar eens convergentie in kans bedoelen.
• Bepaal constanten $a_n$ zodat $\frac{a_n{X}_{1:n}}{\cos X_{1:n}}$ in verdeling convergeert naar een s.v. met een niet-ontaarde verdeling.

Eerste zit 2005-2006, KULAK

(aan de KULAK wordt Kansrekenen gegeven door Van Assche, niet door Gijbels, dus geen relevant examen)

Vraag 1

Bereken de voorwaardelijke dichtheid van de bivariate normale verdeling.

Vraag 2

Stel $X,Y$ onafhankelijk en identiek met dichtheidsfunctie $\frac{1}{x^2},x\ge 1$. Bepaal de dichtheidsfunctie van $\frac{X}{Y}$.

Vraag 3

1. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Wat is de kans om oneindig vaak het patroon $(X_k,X_{k+1},X_{k+2},X_{k+3})=(1,0,0,1)$ tegen te komen.
2. Zij $X_1,X_2,\dots$ een rij van Bernoulli experimenten met kans $p$ op succes. Zij $B_n$ de gebeurtenis die $n$ opeenvolgende keren succes in het $X_{2^n},X_{2^n+1},\dots ,X_{2^{n+1}-1}$ beschrijft. Toon aan dat $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan $0$ als $p<\frac{1}{2}$ en $P(B_n)$ o.v. gelijk is aan 1als $p\ge \frac{1}{2}$. (Tip: Toon aan: $P(B_n)\le 2^n{p}^n$ en $P(B_n)\ge 1-(1-p^n{)}^{\frac{2^n}{n}}$)

Vraag 4

Welke verdelingen komen op natuurlijke wijze te voorschijn uit Bernoulli experimenten? Leg ook het verband met Poissonprocessen.

Vraag 5

Waarom zijn karakteristieke functies zo nuttig? Leg uit aan de hand van enkele stellingen.

Vraag 6

Bespreek de Cauchy verdeling.

Waar komt deze te voorschijn, geef belangrijke eigenschappen en karakteristieken, wat is er zo speciaal aan de Cauchy verdeling?

Numerieke uitkomsten eerste zit 2006-2007

Oefeningen

Vraag 1

• $E(Y)=0$ en $Var(Y)=1$
• $f_X(x)=\frac{2\sqrt{x}\exp (-x)}{\sqrt{\pi }}$, $E\left(\sqrt{|X|}\right)=\frac{2}{\sqrt{pi}}$.
• $\lambda =1$
• $EX=\frac{3}{2}$.
• $E(X{Y}^{10}|Y=\sqrt{2})=64$.

Vraag 2

• 1/30, 1/6, 3/10
• 1/2
• 1/15, 1/3, 3/5
• 107/150

Vraag 3

Neem bijvoorbeeld $a_n=\sqrt[3]{n}$.