Algebraïsche structuren is een vak uit het tweede trimester, gedoceerd door professor Joost van Hamel. Het vak werd in het academiejaar 2006-2007 voor het eerst gegeven aan 1e Bachelor Wiskunde en 1e Bachelor Fysica (waar het een keuzevak is). Er is geen handboek, enkel een cursus, bestaande uit 7 hoofdstukken. Als leerstof wordt een inleiding gegeven tot groeptheorie (groepen, ringen, velden) en ook duale ruimtes en billineaire vormen komen aan bod. Het vak bouwt gedeeltelijk voor op de leerstof van Lineaire Algebra en soms zal professor van Hamel dan ook verwijzen naar het handboek van dat vak, 'Vectoren en Matrices'.

Examens

Examen 27 juni 2007

1:

• Geef en bewijs de congruentie van Euler en toon aan hoe je hieruit de Kleine Stelling van Fermat kunt halen.
• Is de volgende redenering correct: ${\displaystyle 3^{n}mod17}$, ... Motiveer. (weet ik niet meer juist?)

2:

• Zij ${\displaystyle G}$ een groep waarvan alle elementen orde 1 of 2 hebben. Bewijs dat ${\displaystyle G}$ abels is.
• Is ${\displaystyle G}$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/2\mathbb{\mathbb{Z}}}$ ?

3:

• Zij ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ twee priemgetallen met ${\displaystyle q>p}$, zodanig dat ${\displaystyle \alpha =\sqrt{pq-1}}$ priem is.
• Bewijs dat ${\displaystyle p=2}$
• Bestaat de inverse van ${\displaystyle \overline{q}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (of: geef de inverse?)
• Bereken ${\displaystyle (\overline{q}{)}^{-pq}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$.

4:

• Bereken in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/26\mathbb{\mathbb{Z}}}$: ${\displaystyle \overline{2}(x^{12}+x)=\overline{4}}$

5: Zij ${\displaystyle F}$ een n x n matrix over een eindig veld met karakteristiek ${\displaystyle p}$ met p een priemgetal, bewijs dat ${\displaystyle F{}^{p-1}=I_n}$ als er n verschillende eigenwaarden zijn van ${\displaystyle F}$ die allemaal in ${\displaystyle (Z/pZ{)}^x}$ zitten.

6:

• geef de definitie van een linker groepactie.
• Definieer de afbeeldingen ${\displaystyle id:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to z}$ en ${\displaystyle \overline{id}:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to \bar{z}}$. Dan vormt ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=\{id,\overline{id}\}}$ een groep met als bewerking de samenstelling van functies. Definieer nu de afbeelding ${\displaystyle \oplus :\mathrm{\Gamma }\times {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}\to {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$ door ${\displaystyle id\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)}$ en ${\displaystyle \overline{id}\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\overline{d}& -\overline{c}\\ -\overline{b}& \overline{a}\\ \end{array}\right)}$ Dan is ${\displaystyle \oplus }$ een linker groepsactie. Definieer nu ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}=\{A\in {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}|\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma },\gamma \oplus A=A\}}$. Toon aan dat ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ een lineaire deelruimte is van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2})}$ beschouwd als reele vectorruimte.
• Vul de verzameling ${\displaystyle {ℬ}=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\}}$ aan tot een verzameling die zowel een basis is van de reele vectorruimte ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ als van de complexe vectorruimte ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.
• Neem nu ${\displaystyle {ℬ}}$ als basis van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$. Schrijf de afbeeldingen in ${\displaystyle {{ℬ}}^{*}}$ als lineaire combinaties van de afbeeldingen in de standaard duale basis van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$. Dit is de duale basis geassocieerd aan de basis ${\displaystyle \{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)\}}$ van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.

Proefexamen 2007

De opgavesen de oplossingen