Meetkunde II

Wie al eens examen meetkunde heeft gehad weet waaraan zich te verwachten: een uitputtingsstrijd die gemakkelijk een achttal uur kan duren, met een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen.

Examens

2007-06-28

Theorie

1. Definieer het begrip harmonisch puntenviertal. Definieer vervolgens de poollijn van een punt P ten opzichte van twee rechten. Geef een alternatieve definitie voor poollijn. Bespreek vervolgens de meetkundige constructie voor de poollijn van een punt.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$. (Hint: Gebruik dat x op een diffeomorfisme na lokaal van de vorm (u,v,f(u,v)) is.)
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t)=-S({\alpha }^{\prime }(t))$.
   3. Beschouw twee oppervlakken $M_1$ en $M_2$ die elkaar snijden in een reguliere kromme. Zij $\alpha :I\to U$ een parametrisatie van deze kromme. We zeggen dat $\alpha$ een hoofdkromme is van een oppervlak als en slechts als ${\alpha }^{\prime }$ een eigenvector is van de Shape-operator S. Veronderstel dat de normalen ${\xi }_1$ en ${\xi }_2$ van de oppervlakken op $\alpha$ een constante hoek $\theta$ maken met $0\le \theta \le \pi$. Als $\theta \in \{0,\pi \}$, toon dan aan dat $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_1$ als en slechts als $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_2$.
   4. Stel nu $0<\theta <\pi$. Toon aan dat ${\xi }_1{S}_2(\alpha \prime )+{\xi }_2{S}_1(\alpha \prime )=0.$, waarbij $S_i$ de shape-operator van $M_i$ is, en leid daaruit af dat $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_1$ als en slechts als $\alpha$ een hoofdkromme is van $M_2$.

Oefeningen

1. Vind alle projectieve transformaties $\varphi :{\mathbb{𝔽}}_2{P}^2\to {\mathbb{𝔽}}_2{P}^2$ zodat $\varphi ([(0,1,1)])=[(0,0,1)]$ en $\varphi ([(1,1,0)])=[(0,1,1)]$ en zodat de rechte met vergelijking $x_0+x_1=0$ wordt afgebeeld op $x_1+x_2=0$.
2. Beschouw de stelling van de volledige vierzijde in het projectieve vlak. Als we één van de vier zijden als de rechte op oneindig nemen, formuleer dan de stelling in het affiene vlak, met enkel affiene begrippen. Maak een tekening.
3. Zij ${𝒞}$ een algebraïsche kromme in $\mathbb{ℂ}{P}^2$, gegeven door ${𝒞}\leftrightarrow f(x_0,x_1,x_2)=0$ waarbij $f$ een veelterm van graad $n$ is. Zij $P=[(p_0,p_1,p_2)]\in \mathbb{ℂ}{P}^2$. Definieer de $k$-de poolkromme ${{𝒞}}_P^{(k)}$ van $P$ ten opzicht van ${𝒞}$ als ${{𝒞}}_P^{(k)}\leftrightarrow {(p_0\frac{\partial }{\partial x_0}+p_1\frac{\partial }{\partial x_1}+p_2\frac{\partial }{\partial x_2})}^{k}f(x_0,x_1,x_2)=0$.
   1. Bewijs dat deze poolkromme een projectieve invariant is (invariant voor projectieve transformaties).
   2. Zij $Q$ een $\ell$-voudig punt van ${𝒞}$ met $l>k$. Bewijs dat $Q\in {{𝒞}}_P^{(k)}$.
   3. Bewijs polaire wederkerigheid: $Q\in {{𝒞}}_P^{(k)}⟺P\in {{𝒞}}_Q^{(n-k)}$.
   4. Wat krijg je voor ${{𝒞}}_P^{(1)}$ als ${𝒞}$ een ontaarde kegelsnede is? Bewijs.
4. Zij $f:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ een functie die minstens twee maal differentieerbaar is. Zij $x$ het omwentelingsoppervlak bepaald door $f$, dus $x(u,v)=(u,f(u)\cos v,f(u)\sin v).$
   1. Bepaal de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
   2. Neem nu $f(u)=e^{-u^2}$. Maak een schets van het omwentelingsoppervlak en bespreek de Gauskromming ervan aan de hand daarvan.

2006-06-19

Theorie

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in. Bespreek het geval dat P een dubbelpunt is grondig.
2. Beschouw een oppervlak $M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ en een oppervlaksegment $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq {\mathbb{𝔼}}^3$ van M. Zij $p=x(u_0,v_0)\in M$
   1. Als $\alpha :I\subseteq \mathbb{ℝ}\to M:t\mapsto \alpha (t)$ een kromme is en $p=\alpha (t_0)$, toon dan aan dat er een open deel $\tilde{I}\subseteq I$ met $t_0\in \tilde{I}$ en een kromme $\beta :\tilde{I}\subseteq I\to U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:t\mapsto \beta (t)=(u(t),v(t))$ bestaat zodat $\alpha (t)=x(u(t),v(t))$ voor elke $t\in \tilde{I}$.
   2. Zij $\xi$ het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking $\xi :\tilde{I}\to T{\mathbb{𝔼}}^3:t\mapsto \xi (u(t),v(t))$ ook door $\xi$. Toon aan dat ${\xi }^{\prime }(t_0)=-S({\alpha }^{\prime }(t_0))$.
   3. Zij $w\in T_{p}M$ een raakvector met $||w||=1$ en zij H het vlak door p, opgespannen door $\xi (u_0,v_0)$ en w. Dan snijdt H het oppervlak M in de omgeving van p in een kromme. Stel dat $\alpha :I\to M$ een booglengteparametrisatie is van deze kromme, dus $\alpha (I)\subseteq M\cap H$ en stel dat $p=\alpha (t_0)$ en $w={\alpha }^{\prime }(t_0)$. Toon aan dat de normale kromming in de richting van w gegeven is door $k(w)=ϵ\kappa (t_0)$ waarbij $\kappa$ de kromming is van $\alpha$, $ϵ=\pm 1$, in het bijzonder is $ϵ=1$ als $\xi (t_0)=N(t_0)$ en $ϵ=-1$ als $\xi (t_0)=-N(t_0)$, met N het hoofdnormaalveld van α.
   4. Interpreteer dit resultaat. Geef in het bijzonder commentaar over de normale kromming van minimale oppervlakken.

Oefeningen

1. Elke projectieve transformatie $\phi :\mathbb{ℝ}{P}^{2006}\to \mathbb{ℝ}{P}^{2006}$ heeft minstens 1 vast punt. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Zij $P^n$ een projectieve ruimte. Bewijs de volgende uitspraken (die we in de oefenzittingen gebruikt hebben):
   1. De doorsnede van 2 lineaire systemen in $P^n$ is opnieuw een lineair systeem, met als as de som van de assen van de oorspronkelijke lineare systemen.
   2. De som van 2 lineaire systemen in $P^n$ (gedefinieerd door de som van de overeenkomstige projectieve deelruimten van de duale ruimte te nemen) is opnieuw een lineair systeem, met als as de doorsnede van de assen van de oorspronkelijke lineaire systemen.
3. 1. Zij $m\ne 0$ een natuurlijk getal. Argumenteer dat de verzameling van alle algebraïsche krommen van graad m in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ de structuur heeft van een projectieve ruimte. Schrijf de dimensie van deze ruimte in functie van m.
   2. Noteer met $E_0,E_1,E_2,\bar{E}$ de standaard projectieve ijk in $\mathbb{ℂ}{P}^2$. Toon aan dat de verzameling van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ door $E_0,E_1$ en $E_2$, met keerpunten in $E_0$ en $E_1$ met respectievelijk keerraaklijnen $E_0\bar{E}$ en $E_1\bar{E}$, een projectieve deelruimte vormt van de vierdegraadskrommen in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ en bepaal haar dimensie.
4. In ${\mathbb{𝔼}}^2$ is een niet-ontaarde parabool P gegeven met daarop 3 onderscheiden punten $X_1,X_2,X_3$. Toon aan dat de normalen op P in $X_1,X_2$ en $X_3$ concurrent zijn als en slechts als het zwaartepunt van de driehoek $\mathrm{△}{X}_1{X}_2{X}_3$ op de as van P ligt.
   Hint: kies een geschikte Euclidische ijk en werk met een rationele parametervoorstelling voor P.
5. Zij M het oppervlak in ${\mathbb{𝔼}}^3$ met vergelijking $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$
   1. Bereken de gemiddelde kromming H en de Gausskromming K van M.
   2. Bereken $\underset{p\in M}{\inf }H$ en $\underset{p\in M}{\sup }H$. Worden infimum en supremum bereikt? Zo ja, in welk punt?

2006-08-21

De vragen zijn niet zo volledig als vorige keer, ik had geen tijd om ze over te schrijven nu. Hopelijk zijn ze iets waard. Excuses voor eventuele fouten.

Theorie

1. Zelfde als in eerste zit.
2. Gegeven een compact oppervlak $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^3$ en een functie $f:{\mathbb{𝔼}}^3\to \mathbb{ℝ}:w\mapsto f(w)=||w|{|}^2=w\cdot w$. We gaan bewijzen dat er een punt bestaat op het oppervlak zodat de Gausskromming strikt negatief is.
   1. Definieer $F:U\to \mathbb{ℝ}:F(u,v)=f(x(u,v))$. Neem een punt $(u_0,v_0)\in U$ waar $F$ maximaal is, met $p=x(u_0,v_0)$ . Bewijs dat $x\perp T_{p}M$.
   2. Neem $w\in T_{p}M$. Definieer $h:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:t\mapsto h(t)=F(u_0+t{w}_1,v_0+t{w}_2)$. Bewijs dat $l{w}_1+2m{w}_1{w}_2+n{w}_2\le \frac{w_1\cdot w_2}{R}$ met $l=l(x_1,x_2),\dots$ Let wel dat de uitdrukking in het linkerlid misschien niet volledig correct is, maar het was alleszins iets van die strekking.
   3. Concludeer hieruit dat de kromming negatief is in dit punt.

Oefeningen

1. Zij $\phi$ een projectieve transformatie van $\mathbb{ℂ}{P}^1$ zodanig dat $\phi (A_1)=A_2$, $\phi (A_2)=A_3$ en $\phi (A_3)=A_1$.
   1. Bewijs dat $\phi \circ \phi \circ \phi$ de identieke transformatie is.
   2. Zij $X$ een vast punt van $\phi$. Bewijs dat $(A_1,A_2,A_3,X)\in \{e^{i\frac{\pi }{3}},e^{-i\frac{\pi }{3}}\}$.
2. Zij ${\mathrm{\Sigma }}^a$ en ${\mathrm{\Sigma }}^b$ 2 lineare systemen van $P^n$ zodat ze geen hypervlak gemeen hebben. Neem een hypervlak $\alpha$ uit ${\mathrm{\Sigma }}^a+{\mathrm{\Sigma }}^b$. Dan bestaat er een bundel hypervlakken die zowel $\alpha$ als een exemplaar uit ${\mathrm{\Sigma }}^a$ en ${\mathrm{\Sigma }}^b$ bevat. (Klopt deze vraag wel?)
   1. Dualiseer deze stelling naar $(P^n{)}^{*}$.
   2. Dualiseer de stelling naar de assen van de lineaire systemen.
   3. Bewijs 1 van de 3 stellingen (de anderen volgen uit dualiteit).
3. Wat is de meest algemene vergelijking van een kromme $C$ in ${\mathbb{𝔸}}^2$ die graad $n$ heeft, waarbij het punt $(0,0)$ een $(n-2)$-voudig punt is, en waarvoor de $n$ rechten $a_{i}x+b_{i}y=0$ asymptoten zijn?
4. Een tractrice is een functie ${\mathbb{ℝ}}_0^{+}\to {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ met $\underset{u\to 0}{\lim }f(u)=c$ die voor elk punt $u$ voldoet aan de volgende eigenschap: de afstand van $f(u)$ naar de x-as, gemeten volgens de raaklijn, is $c$.
   1. Bewijs dat een tractrice voldoet aan volgende differentiaalvergelijking: $(f^{\prime }{)}^2=\frac{f^2}{c^2-f^2}$.
   2. Als we het omwentelingslichaam, verkregen door een tractrice te wentelen rond de x-as, beschouwen, dan is de Gausskromming van dit lichaam constant en strikt negatief (denk ik). Bewijs dit.