Differentiaalvergelijkingen

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door 3 professoren. Professor Van Assche geeft het deel over gewonen differentiaalvergelijkingen. Dit deel is niet echt moeilijk, zeker niet omdat het open boek is. Op het examen is hij de vriendelijkheid zelfe. Professor Fannes geeft het deel over partiële differentiaalvergelijkingen. Hiervoor gebruikt hij het boek en nog zo'n 100 pagina's eigen notities. Dit deel is iets lastiger en veel fysischer. Op het examen is porfessor Fannes iets norser dan zijn collega. Professor Kuijlaars geeft de oefenzittingen aan de wiskundigen. Die voor de fysici worden door assistenten gegeven. Het oefeningendeel op het examen is schriftelijk, er zijn op het examen geen nota's van de oefeningen toegelaten. Hierbuiten is er gedurende het jaar nog een practicumwerkje met de computer, voor de numerieke methodes.

De punten verdeling : 5 punten op het deel van Fannes, 5 op het deel van Van Assche, 6 op de oefeningen en 4 op het practicum.

Opmerking: Al deze gegevens kunnen nog wijzigen tegen volgend jaar!

Examenvragen

Eerste zit 2006 - 2007, 3 februari 2007

Theorie Van Assche

• In het bos van Heverlee leven x konijnen, y vossen en z katten. In afwezigheid van konijnen leven vossen en katten volgens een Malthus-populatiemodel, zonder interactie. In afwezigheid van vossen leven konijnen en katten volgens een Lotka-Volterra-model, en in afwezigheid van katten leven konijnen en vossen eveneens volgens een Lotka-Volterra-model. Stel een systeem van differentiaalvergelijkingen op dat de evolutie van de populaties vossen, katten en konijnen beschrijft. Het punt (0, 0, 0) is een kritiek punt van dit systeem: wat is de aard van dit kritieke punt? Bepaal alle andere kritieke punten. Wat kan je over deze andere kritieke punten vertellen?

• Bekijk de differentiaalvergelijking $y^{(3)}-(x+1)y^{\prime }+xy=0$. Een oplossing van deze differentiaalvergelijking wordt gegeven door $y_1(x)=\exp (x)$. Leid een tweede orde differentiaalvergelijking af waarmee twee andere oplossingen $y_2,y_3$ van de gegeven differentiaalvergelijking kunnen worden bepaald (lineair onafhankelijk van de gegeven oplossing). Hoe los je deze tweede orde differentiaalvergelijking op met behulp van machtreeksen? (Bijvraagje: wat is de convergentiestraal van de machtreeksoplossing die je bekomt?)

Theorie Fannes

• Twee kleine vraagjes over de gradiënt van een scalair veld:
  • Toon aan dat een gradientveld een conservatief vectorveld is (cfr. opgave in de cursus).
  • Hoe bepaal je de $\theta$-component van de gradiënt in bolcoördinaten? (cfr. opgave cursus)

• Zij $\mathrm{\Omega }$ een compact oppervlak in ${\mathbb{ℝ}}^d$. Zij S de klasse van scalaire velden s die voldoen aan de volgende eigenschappen: s is éénmaal continu differentieerbaar in $\mathrm{\Omega }$, de eerste en tweede afgeleiden van s kunnen continu worden uitgebreid tot op de rand van $\mathrm{\Omega }$, en s wordt nul op $\partial \mathrm{\Omega }$. Definieer $⟨u,v⟩=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\overline{u}vdV$ voor alle functies u en v uit de klasse S. Toon aan dat $⟨\mathrm{\Delta }u,v⟩=⟨u,\mathrm{\Delta }v⟩$ voor alle u en v in S, en bewijs dat de eigenwaarden van de operator $\mathrm{\Delta }$ strikt positieve reële getallen zijn.

Eerste zit 2006 - 2007, 2 februari 2007

Theorie Van Assche

• Beschouw het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen: $\{\begin{array}{l}d{x}_1/dt=2x_1+x_2-x_3\\ d{x}_2/dt=2x_2+x_4\\ d{x}_3/dt=2x_3+x_4\\ d{x}_4/dt=2x_4\end{array}$. Bepaal de oplossing met behulp van de eigenwaarde methode, en ook met behulp van de matrix-exponentiële functie.
• Beschouw de differentiaalvergelijking $x{y}^{(3)}(x)+(2-x)y^{(2)}(x)-2(1+x)y^{\prime }(x)-4y(x)=0$. Twee oplossingen van deze vergelijking worden gegeven door $y_1(x)=\exp (-x)$ en $y_2(x)=\exp (2x)$. Zoek een differentiaalvergelijkingen van de tweede orde waaraan een derde oplossing $y_3$, lineair onafhankelijk van de vorige twee oplossingen, voldoet. Bestaat er een eerste orde differentiaalvergelijking waaraan $y_3$ voldoet?

Theorie Fannes

• Beschouw een dun staafje met lengte L waarvan de eindpunten op temperatuur 0 worden gehouden. De lokale temperatuur $u(x,t)$ voldoet aan $u_t-k{u}_{xx}=f(x,t)$, met $f(x,t)$ de warmte die "aangevoerd" wordt. Zij $u_0$ de beginverdeling van de temperatuur. Zoek de oplossing $u(x,t)$. Begin door $u$ te schrijven als $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{L}$.
• Middelwaardestelling voor harmonische functies in 3D...

Eerste zit 2006 - 2007, 30 januari 2007

Oefeningen

• Er zijn zieke dieren, gezonde dieren met korte immuniteit en gezonde dieren die vatbaar zijn voor ziekte.
  • x'=-axy+cz
  • y'=axy-by
  • z'=by-cz

1. Welke soort is x,y,z? Verklaar de termen
2. Laat zien dat x+y+z=N constant is.
3. Neem a=b=c=1 en N=9. Herleid dit stelsel tot een stelsel met 2 veranderlijken. Bepaal de evenwichten
4. Bepaal de stabiliteit van de evenwichten

• Golfvergelijkinge: 1D horizontale snaar met zwaartekracht.
  • $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-g$
  • randvoorwaarden: u(0,t)=u(L,t)=0 t>0
  • beginvoorwaarden: u(x,0)=f(x), $\frac{\partial u}{\partial t}$ 0<x<L
  • Gebruik scheiding van veranderlijken

Eerste zit 2006 - 2007, 29 januari 2007

Theorie Van Assche

• Gegeven een linear stelsel. Er werd gevraagd de Wronskiaan te berekenen en hoe hij gebruikt kan worden om het stelsel op te lossen
• Er leven 3 soorten samen: eekhoorns, konijnen en vossen. In afwezigheid van vossen leven eekhoorns en konijnen samen in een logistiek model en in afwezigheid van eekhoorns (konijnen) leven de vossen en konijnen (eekhoorns) in een jager-prooi model. Stel de vergelijkingen op en onderzoek de aard van het kritieke punt (0,0,0)

Theorie Fannes

• Zij X een afbeelding gedefinieerd door $(Xf)(x):f(x)\mapsto -\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$. Hierbij is f een functie die voldoet aan f(0)=f(L) en f'(0)=f'(L). We definiëren op deze klasse van functies een inproduct <f,g>=$\underset{0}{\overset{L}{\int }}\overline{f(x)}g(x)dx$.

1. Toon aan dat dit inproduct hermitisch is.
2. Toon aan dat X enkel reële eigenwaarden heeft. Bewijs verder dat eigenfuncties behorende bij twee verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn.
3. Laat zien dat X enkel niet-negatieve eigenwaarden heeft.

• Warmtevergelijking in "3D". Beschouw de twee concentrische sferen, met respectieve stralen $R_1$ en $R_2$ waarbij $0<R_1<R_2$. Op het boloppervlak van de binnenste sfeer wordt de temperatuur constant 0 gehouden, en op de buitenste sfeer een constante temperatuur T. Op t=0 hangt de temperatuur enkel af van de voerstraal r.

1. Vertaal dit naar wiskundige vergelijkingen.
2. Bepaal een stationaire oplossing (voor $t\mapsto \mathrm{\infty }$).
3. Geef een algemene oplossing voor deze partiële differentiaalvergelijking.

De oefeningen

• Gegeven: xy" - (3+x)y' + 2y = 0. Geef de oplossingen van de indiciaalvergelijking, en een recursiebetrekking tussen de coëfficiënten. Geef dan twee lineair onafhankelijke Frobeniusreeksoplossingen.
• Beschouw een 1-dimensionale snaar met lengte L die voldoet aan $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2k\frac{\partial u}{\partial t}$. De randvoorwaarden zijn u(0,t)=u(L,t)=0. Veronderstel hierbij dat $0<k<\frac{c\pi }{L}$.

1. Geef de oplossingen met gescheiden veranderlijken, dus van de vorm u(x,t)=X(x)T(t).
2. Geef de algemene oplossing als de beginvoorwaarden u(x,0)=f(x) en $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$ zijn.
3. Wat is de rol van de voorwaarde $0<k<\frac{c\pi }{L}$? Wat als $k>\frac{c\pi }{L}$?

Eerste zit 2005 - 2006, Fysica

Theorie Van Assche

• populatie herten voldoet aan logistiek model, maar ook jaarlijks h herten afgeschoten: geef dvgl, bespreek gedrag als t-> infinity (zonder uit te rekenen!) als h klein, wat als h groot (hint van mezelf: blz 94!)
• Een stelsel met 4x eigenwaarde 2, hoe vind je 4 lin onafh opl

Theorie Fannes

• Fourier van Cauchyverdeling met $k<0$
• Diffusievgl met rotatiesym: hoe zie je aan een bvw dat er een beperkt aantal deeltjes is? Leidt deze dvgl af: Iedereen heeft het met stelling van gauss gedaan, maar fannes is bij iedereen blijven doorvragen over een andere manier die meer fysisch was.

Oefeningen

• $x^{\prime }=y+ax(x^2+y^2)$ en $y^{\prime }=-x+ay(x^2+y^2)$: bewijs dat (0,0) enige krit punt is, leid dvgl voor $r=\sqrt{x^2+y^2}$ af, wat is de aard van het krit punt (afh van $a\in \mathbb{ℝ}$)
• $u_{tt}=c^2{u}_{xx}-2k{u}_t$ en $k>\frac{c\pi }{L}$ ($u_{tt}$ is tweede part afg van u naar t). Opl via scheiding veranderelijken met rvw: $u(0,t)=0$ en $u_t(L,t)=0$.
  Zoek dan alg opl als ook $u(x,0)=f(x)$ en $u_t(x,0)=0$
  Wat als $k>\frac{c\pi }{L}$?

Tweede zit 2005 - 2006, Fysica

Theorie Van Assche

Eerste vraag

• 1. Bepaal de differentiaalvergelijking van dit systeem. Linkse veer is niet-lineair: $F(x)=-kx+a{x}^3$. Rechtse veer is lineair met veerconstante k.
• 2. Bepaal het gedrag van het systeem als $t\to \mathrm{\infty }$ en $a>0$.

Tweede vraag

(1 - x²)y"(x) + (1 - 3x)y'(x) + 3y(x) = 0 Hoe vind je twee lineair onafhankelijke oplossingen?

• 1. Bepaal een eerste oplossing volledig (hint:veelterm)
• 2. Gebruik de eerste oplossing om een tweede te zoeken. Leg uit hoe.

Theorie Fannes

Eerste vraag

Voor welke waarden van $a\in \mathbb{ℝ}$ is de matrix positief definiet? Bereken voor dit geval de Fourriergetransformeerde van de functie $x\in {\mathbb{ℝ}}^2\to \exp (-x\cdot Rx)$.

Tweede vraag

Diffusie binnen een bol van straal R in ${\mathbb{ℝ}}^3$. Begin- en randvoorwaarden zijn sferisch symmetrisch zodat de oplossing dezelfde sfeersymmetrie heeft. $u(x,t)=f(r,t)$ waar r de voerstraal is van het punt $x\in {\mathbb{ℝ}}^3$.

• a) schrijf de PDF voor f
• b) geef de rechtstreekse afleiding van de PDV (hint: 1. totaal aantal deeltjes 2. verandering: deeltjes door wand 3. deeltjesstroom radiaal 4. wet van Fick + elimineer deeltjesstroom)
• c) $f(r,t)=g(r,t)/r$ geef PDV voor g
• d) geef een maximale lineair onafhankelijke familie van oplossingen met gescheiden veranderlijken voor de randvoorwaarde .

Oefeningen

1. Populatie met gezonde, zieke en immune dieren voldoet aan volgend stelsel van DVs: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-axy+cz\\ y^{\prime }=axy-by\\ z^{\prime }=by-cz\end{array}$ (dit komt er blijkbaar niet goed door?)
   1. Welke soort hoort bij welke variabele? Waarvoor staan de verschillende termen?
   2. Bewijs dat $x+y+z=N$ constant is.
   3. Stel $a=b=c=1,N=9$. Herschrijf naar systeem met 2 vergelijkingen en geef de evenwichtsposities.
   4. Geef de stabiliteiten van deze evenwichtsposities.
2. Snaar die langs de x-as loopt tussen $x=0$ en $x=L$. Op $x=b$ wordt ze uitgerekt met uitwijking $ϵ>0$. De resulterende beweging voldoet aan de golfvergelijking.
   1. Los op met scheiding van veranderlijken. Geef de oplossing als een reeksoplossing.
   2. Welke speciale reeks krijg je voor $u(x,t)$ met $t=0$ en $x=b=\beta L$?