Wiskundige methoden in de natuurkunde

Algemeen

Wegens structurele veranderingen was de info niet meer up to date. Dit wordt later aangepast

Examens

Vragen Discrete Symmetrieën

Vraag 1

Bekijk de groep A4, dit is de groep van de even permutaties van 4 elementen. (Meer info was gegeven maar omdat ik geen zin heb om deze over te schrijven verwijs ik naar http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group). Deze groep is te bekijken als transformaties van een regelmatig tetraëder.

Met welke transformatie komt (123) overeen? En (12)(34)?

De toevoegingsklassen zijn de volgende: C1 = {e}

C2 = {(123), (142), (134), (243)}

C3 = {(132), (124), (143), (234)}

C4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}

Zie je een verschil tussen de elementen van C2 en C3? Stel de karaktertabel van A4 op. Gegeven is dat de eerste drie elementen op de eerste rij alledrie 1 zijn. Verder zijn de eerste drie elementen van de tweede kolom 1, w, w²; met $w=\exp (2\pi i/3)$

Permutaties zoals (1234) of (12) (die wel in S4 zitten maar niet in A4) komen ook overeen met rigide transformaties van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zie je een meetkundig verschil met deze uit A4?

Vraag 2

We definiëren volgend scalair product op de complexe matrices van dimensie n:

$<A,B>:=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Tr</mrow>}A*B$

Toon aan dat dit inderdaad een scalair product is.

Neem U een unitaire representatie van een groep G in de complexe matrices van dimensie n. Toon aan dat $g\in G\to \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ad</mrow>}(U(g))$ een unitaire representatie is van G op de matrices met scalair product van hierboven. Hierbij is $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Ad</mrow>}(U(g))(A)=U(g)A(U(g))*$ voor $A\in M_n$

Kan je een verband vinden tussen het karakter van U en Ad(U)?

Noot: deze representaties worden gebruikt om evolutie en symmetrieën te beschrijven voor kwantumsystemen in het Heisenbergbeeld.

Vragen Markovketens

Vraag 1

Bewijs dat een Markovproces op een een toestandruimte met 2 elementen altijd voldoet aan de voorwaarde van detailled balance. Neem het geval van continue tijd. (PRECISEER zeker wat je gaat bewijzen)

Vraag 2

Beschouw het markovproces met $K=\{+1,-1{\}}^2$ waarin voor $\sigma ,\eta \in K$ geldt $p(\sigma ,\eta )=e^{-4{\sigma }_1{\sigma }_2}$ indien $\sigma =({\sigma }_1,{\sigma }_2)=({\eta }_1,-{\eta }_2)$ of $\sigma =({\sigma }_1,{\sigma }_2)=(-{\eta }_1,{\eta }_2)$. In alle andere gevallen is de kans op overgang nul.

Bepaal de stationaire verdeling. (Tip: Denk aan Glauberproces)

Vraag 3

We beschouwen het volgende Markovproces (Xt). Er is continue tijd en de toestandruimte is K = {0,1}. De overgangsintensiteiten worden bepaald door reële paramters a en h:

$p(0,1)=e^{-a}p(1,0)=e^{a-h}$

We kiezen $X_0=1$. Bereken de verwachtingswaarde van $e^{3X_t}$ als functie van a en h.

Vragen Potentiaaltheorie in 2D

Vraag 1

Zoek een analytische functie waarvan het reële deel gelijk is aan sin(x)cosh(y). Lukt het ook om zo'n analytische functie te vinden waarvoor het reële deel gelijk is aan x²y².

Vraag 2

Schrijf een Taylor- of Laurentreeks neer voor $z^k{e}^{1/z}$

Vraag 3

Bereken de integraal $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{5ix}}{1+x^2}dx$

Om dit te doen zal je de contour moeten sluiten. Je moet niet bewijzen dat de itnegraal over het andere deel van de contour nul is (maar je mag dat natuurlijk doen als je je niet kan inhouden). Maar je kan de contour langs twee kanten sluiten, leg wel uit waarom je een bpeaalde manier gekoz=en hebt.

Vraag 4

nog in te tikken... Dit ging om te verklaren waarom een bepaalde contour gebruikt werd om een bepaalde integraal uit te rekenen.