Bewijzen en Redeneren

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Arno Kuijlaars

Bewijzen en Redeneren is een wiskunde vak in het eerste semester van de eerste Bachelor Wiskunde. De nadruk ligt vooral op het leren correct opstellen van een bewijs maar ook wordt hier een abstracte manier van denken aangeleerd.

Wat het examen betreft, lijkt er een vast stramien te zijn. Vraag 1 bestaat vaak uit verschillende onderdelen, die elk moeten testen of je enkele begrippen uit de cursus beheerst (overaftelbaar, equivalentierelatie, machtsverzameling, ...). Vragen 2 en 3 zijn dan 'situatievragen': er is bijvoorbeeld een relatie gegeven en jij moet dan bepaalde eigenschappen gaan onderzoeken. Vraag 4 is tenslotte een $\epsilon -\delta$-bewijs van continuïteit van een bepaalde functie.

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Examen: Media:Examen2008BewRed.pdf

Tussentijdse toets (16 november 2007)

1. • (a) Zoals bekend is $P(X)$ de machtsverzameling van $X$. Geef alle elementen van $P(P(X))$ als $X=\mathrm{\varnothing }$ en als $X=\left\{0\right\}$.
   • (b) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling $X$ $(X\ne \mathrm{\varnothing })\iff [(\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):x\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):x\in A)]$ waar of niet? Geef een bewijs indien ze waar is, en geef een tegenvoorbeeld als ze niet waar is.
2. • Zij $X$ een verzameling en $A,B\in P(X)$.
   • Bewijs dat $(X\times X)\setminus (A\times B)=((X\setminus A)\times X)\cup (X\times (X\setminus B))$
3. • Beschouw de volgende drie relaties op $R$.
   • $R1=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid xy>0\}$
   • $R2=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid (x-y)(x+y)=0\}$
   • $R3=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid x\ge y\}$
   • Welke relaties zijn reflexief, welke symmetrisch, welke transitief? Welke relaties zijn orderelaties, welke equivalentierelaties? Licht uw antwoord toe. Een volledig uitgewerkt bewijs wordt niet gevraagd.

Academiejaar 2007

Augustus 2007

Ook nu elke vraag op 10 punten.

1. • Gegeven 3 relaties R:X->X met X={1,2,3,4}:
   • R1 = { (2,2), (3,3), (2,3) , (3,2), (2,4) , (4,3) }
   • R2 = {(1,1), (2,2) , (3,3) , (4,4) , (1,2) , (2,1)}
   • R3 = {(1,2), (2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)}
   • a) Welke zijn reflexief, transitief of symmetrisch?
   • b) Hoeveel koppel(s) moet je toevoegen aan R1 om er een equivalentierelatie van te maken?
   • c) Is de volgende stelling waar of niet waar? Bewijs $(\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\exists }y\in X:(x,y)\in R_1\vee (y,x)\in R_3)\iff (\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }y\in X:(x,y)\in R_2)$
2. • Zij X een verzameling en $A,B\in P(X)$. Bewijs dat (X x X) \ (A x B) = ((X \ A) x X) U (X x (X \ B)).
3. • Zij f:X -> X een functie (mogelijks van de reele getallen, ik weet het niet meer). Zij A en B elementen van P(X).
   • a) Bewijs dat $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$
   • b) Toon aan met een tegenvoorbeeld dat de gelijkheid niet altijd waar is.
   • c) Toon aan dat $\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\forall }B\in P(X):f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ als en slechts als f een injectieve functie is.
4. • Toon aan met de epsilon-delta definitie dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{1}{x^2+a^2}$, met $a\in {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ een vast getal, continu is in x*=0.

Januari 2007

Bij dit examen stond elke vraag op 10 punten.

1. • Zoals bekend is P(X) de machtsverzameling van X.
   • a) Geef alle elementen van P(P(X)) als X={0} en als X=$\mathrm{\varnothing }$
   • b) Zij X een verzameling met |X|=n. Tel het aantal funties f: X$\to$P(X) dat voldoet aan $\mathrm{\forall }x\in X:x\in f(X)$ en ligt uw antwoord toe (N.B. een formeel bewijs wordt niet gevraagd.)
   • c) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling X waar of niet? $(\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(x\in A))\Rightarrow (\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in X:x\in A))$. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. • Zij X een verzameling. Met Fun(X,X) noteren we de verzameling van alle functies f: X$\to$X. Zij R de relatie op Fun(X,X) door (f,g)$\in R\iff \mathrm{\exists }$ een bijectieve $\sigma :\sigma of=g$
   • a) Bewijs dat R een equivalentierelatie op Fun(X,X) is.
   • b) Hoeveel equivalentieklassen van R zijn er als |X|=3? Geef van elke equivalentieklasse 1 element.
3. • Zij f:X $\to$X een functie
   • a) bewijs dat $\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))\subset B$
   • b) De gelijkheid in a) is niet altijd waar, geef hiervoor een tegenvoorbeeld.
   • c) Bewijs: $(\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))=B)\iff$ f is surjectief
4. • Zij $f:\mathbb{ℝ}a\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door f(x)=$\frac{1}{(x-a{)}^2}$ met a>0 een vast strikt positief reëel getal. Bewijs met de $ϵ-\delta$ definitie dat f continu is in x*=0.