Analyse I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Informatie over het examen

Het vak Analyse I wordt vanaf dit jaar gegeven door prof. Quaegebeur.

Na het examen van juni 2006 heeft Prof. Van Daele een bespreking van het examen geschreven. Het is een absolute must om dit document te lezen en goed te bestuderen. De prof. legt in het document duidelijk uit wat hij verwacht van de antwoorden, iets waaraan afgelopen jaar veel studenten zich mispakt hebben. De eisen van Prof. Van Daele liggen zeer hoog, en de slaagcijfers in het document zijn afschrikwekkend laag. Laat je hierdoor niet afschrikken, maar schat het vak goed in.

Het examen was openboek bij Prof. Van Daele. Echter, vanaf het academiejaar 2007-2008 zal hij dit vak niet meer doceren.

Examens

2008-06-09 (Voormiddag)

Media:Examen2008Analyse1.pdf

2008-06-09 (Namiddag)

1. Leg uit wat wordt bedoeld met +∞/L=-∞ (L<0) in de context van limieten van reële functies. En geef een bewijs in een eindig ophopingspunt.
2. Bewijs dat in een open convex deel van C, een functie f met f'(z)=0 voor alle z, constant is.
3. Gegeven een rij (x_n)_n in C die als limiet nul heeft, bewijs dat deze rij een convergente deelrij heeft.
4. Noteer met C0(R) de verzameling van de continue functies f : R → R waarvoor de limieten op +∞ en −∞ bestaan en nul zijn. Noteer met CB(R) de verzameling van de continue begrensde functies van R naar R. Toon aan dat C0(R) een deelverzameling is van Cb(R). Toon aan dat CO(R) gesloten is.
5. Stel A en B compacte, disjuncte, niet-lege delen van een metrische ruimte. Noteer d(A,B) = inf{d(a,b)|a in A, b in B}. Bewijs dat d(A,B)>0. Is dit ook waar als A en B gesloten zijn?

2007-08-24

1. Geef een metriek (V,d) die aan de volgende voorwaarden voldoet
   • een rij enkel en alleen convergeert als ze "gewoon" convergeert
   • er Cauchyrijen bestaan in (V,d) die geen Cauchyrijen zijn met de gewone metriek
2. In de studie van samenhangende verzamelingen hebben we voor een verzameling E $\subset$ V open in E en gewoon open bekeken. Bespreek en illustreer met voorbeelden.
3. Beschouw een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ Definieer een grafiek G van f als G={(x,f(x))|x in R}. Bewijs dan dat als f continu is, dat G gesloten is. Geldt het omgekeerde ook?
4. Bewijs propositie 2.5 (Afgeleiden II) nauwkeurig.
5. Beschouw de functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}:(x,y)\to (y-x^2)(y-2x^2)$ De beperking van f tot een willekeurige rechte door de oorsprong zal altijd een lokaal minimum bezitten. Vind een differentieerbare functie $g:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}^2$ met g(0)=(0,0) zodat f beperkt tot het beeld van g geen lokaal minimum heeft in (0,0). Met andere woorden er is geen lokaal minimum voor f(g(x))
6. Werk propositie 3.5 (Integratietheorie) nauwkeurig uit
7. In propositie 4.6 (speciale functies) hebben we bewezen dat de gammafunctie uitbreidbaar is naar $\mathbb{ℂ}\setminus 0,-1,-2,...$. Kunnen we voor

$z\in \mathbb{ℂ}$ en Re z>0 een analoge uitbreiding vinden voor de betafunctie. Je mag hiervoor dus geen gebruik maken van propositie 4.12

2007-06-21

Professor Van Daele liet me weten dat de vragen verschillende fouten bevatten zoals ze nu op de wiki stonden. Hij heeft daarom liever dat de vragen er pas opnieuw opkomen wanneer hij zijn bespreking van het examen gepubliceerd heeft (dat zal zo rond 30 juni of iets later zijn). Arne.

De tekst is nu gepubliceerd, zie [1]

2006-06-12

1. Zij (V,d) een metrische ruimte en A een deelverzameling van V. Bewijs nauwkeurig dat het complement van de sluiting van A gelijk is aan het inwendige van het complement van A. (Cfr. opgave 3.16 in metrische ruimten.) Illustreer met een of enkele voorbeelden.
2. In "Metrische ruimten" hebben we de begrippen continuïteit (5.1) en gelijkmatige continuïteit (5.13) gedefinieerd. Bespreek deze begrippen, de verschillen en de verbanden.
3. Toon aan dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f(x)=\exp \left(\frac{-1}{x^2}\right)$ als $x>0$ en $f(0)=0$ als $x\le 0$, continu differentieerbaar is tot de tweede orde. Deze functie is ook oneindig keer differentieerbaar. Dit moet je niet bewijzen, maar bespreek wel dit resultaat.
4. Hoe moeten we de gelijkheid $\frac{df}{dt}=\sum _{i=1}^p\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}$ interpreteren? Bespreek.
5. Zoek de punten van de grafiek van $z=x^2-y^2+1$ die het dichtst bij de oorsprong liggen. (Cfr. opgave 5.4 uit Afgeleiden II.)
   Maak een tekening en bespreek je resultaat.
6. Beschouw de rij $(f_n)$ van continue functies $[0,2\pi ]\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door $f_n(x)=\frac{\sin nx}{x^2+n^2}$. Toon aan dat $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}_n(x)dx\to 0$ als $n\to \mathrm{\infty }$. (Aanwijzing: je moet de integralen hiervoor niet uitrekenen.)
7. In Definitie 4.11 van speciale functies definiëren we B als de integraal van een functie. Toon aan dat deze functie inderdaad integreerbaar is.

2005-06-13

1. Beschouw propositie 4.24 uit 'Metrische Ruimten' (E is de unie van twee aan twee disjuncte samenhangende verzamelingen). Neem $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ met de gewone metriek. Veronderstel bovendien dat E open is. Bewijs dat dan ook alle samenhangende componenten van E open zijn. Aanwijzingen: 1. Is een open bol samenhangend in ${\mathbb{ℝ}}^n$?
2. In Definitie 5.1 en Definitie 5.13 uit 'Metrische ruimten' geven we de definitie van continuïteit en van gelijkmatige continuïteit. Bespreek deze begrippen en vooral het verschil, de gelijkenissen en het verband tussen beide.
3. Neem n = 1,2,3,... en definieer functies $h_n:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $h_n(x)=x^n$ indien x rationaal is en $h_n(x)=0$ indien x irrationaal is. Wat kan je dan allemaal vertellen over de continuïteit en de differentieerbaarheid van deze functies voor de verschillende waarden van n?
4. We beschouwen de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ bepaald door de vergelijkingen
   $x^2+y^2-z^2=0$
   $3x+y-5=0$
   Gebruik stelling 5.10 ('Afgeleiden II') om de punten op deze kromme te vinden die het dichtst bij de oorsprong liggen. Maak een tekening en bespreek het resultaat.
5. Formuleer en bewijs Lemma 4.4 uit 'Integratietheorie' nauwkeurig en bespreek het resultaat.
6. In Voorbeeld 5.4 ('Integratietheorie') hebben we een functie gedefinieerd. We weten dat ze niet continu is in (0,0). Construeer een rij punten $(x_n,y_n{)}_n$ in het domein zodat $(x_n,y_n)\to (0,0)$ maar toch niet $f(x_n,y_n)\to 0$.
7. Gebruik de formule uit Propositie 4.5 ('Speciale functies') om aan te tonen dat $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ voor elke x>0. Argumenteer nauwkeurig en volledig. Schrijf ook je bewijs netjes op.

2005-08-22

1. In het deeltje 'Metrische ruimten' hebben we Stelling 2.5 (vastepuntstelling). Is het resultaat nog juist als daarbij $\lambda =1$ toegelaten wordt? Bespreek.
2. Beschouw een willekeurige metrische ruimte (V,d) en een deelverzameling A van V. Toon nauwkeurig aan dat het inwendige van het complement $A^C$ van A gelijk is aan het complement van de sluiting $\bar{A}$ van A (cfr. Opgave 3.16 uit 'Metrische ruimten'). Illustreer het resultaat met een voorbeeld.
3. Definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0. Wat denk je over de volgende redenering (cfr. Opgave 5.19 uit 'Metrische ruimten'): 'Er geldt dat $f({\mathbb{ℝ}}^{+})=\mathbb{ℝ}$ en dus $f^{-1}(\mathbb{ℝ})={\mathbb{ℝ}}^{+}$. Dit geeft dan een open verzameling in $\mathbb{ℝ}$, namelijk $\mathbb{ℝ}$ zelf, zodat het inverse beeld van deze open verzameling onder f niet meer open is. Daarom is f niet continu.' Bespreek.
4. Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^p\to {\mathbb{ℝ}}^p$ door $f(x)=\lambda x+a$ waarbij a een willekeurig element is uit ${\mathbb{ℝ}}^p$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}$. Is dan f totaal afleidbaar, in welke punten en wat is de totale afgeleide?
5. Beschouw een gesloten en begrensd interval [a,b] in $\mathbb{ℝ}$ en een functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℂ}$. We weten dat |f| Riemann integreerbaar is als f dat is. Geldt ook het omgekeerde?
6. Neem Toepassing 4.7.ii uit het deeltje 'Integratietheorie'. Werk dit argument meer in detail uit: Bewijs nauwkeurig dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, gedefinieerd door $f(x)=\exp (-x^2)$, oneigenlijk integreerbaar is.
7. In het deeltje 'Speciale functies' hebben we in Propositie 4.5 een formule die we echter niet bewezen hebben. We geven wel een argument. Waarom is dit 'argument' geen nauwkeurig argument en dus niet voldoende als bewijs? Wat is het probleem?

2004-06-04

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. We hebben op twee verschillende manieren aangetoond dat $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (zie "Speciale functies" en "Integratietheorie"). Bespreek beide methodes en vergelijk ze. Is er een verband tussen beide?
2. Bekijk Stelling 2.6 en Propositie 2.7 uit "Metrische ruimten en continuïteit". Bekijk ook de metriek op $\mathbb{ℝ}$, gedefinieerd in Voorbeelden 2.3.i. Wat is de vervollediging van deze metrische ruimte?
3. Beschouw een continue functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ en noteer $G=\{(x,f(x))|x\in [0,1]\}$. Toon aan dat G een gesloten en begrensde deelverzameling is van ${\mathbb{ℝ}}^2$.
4. Wat weet je allemaal over het probleem van het verwisselen van integraal en afgeleide?
5. Gebruik Opgave 4.10 (Integratietheorie) om na te gaan of de reeks $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ al of niet convergeert. Bespreek.
6. Beschouw een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$. Associeer daarmee een functie $g:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ door $g(x+iy)=f_1(x,y)+i{f}_2(x,y)$ waarbij $x,y\in \mathbb{ℝ}$ en $f_1$ en $f_2$ de componenten zijn van $f$. Wat kun je zeggen over het verband tussen differentieerbaarheid van $f$ en differentieerbaarheid van $g$?
7. In Opmerkingen 4.7.iii (Afgeleiden II) staat: "Wanneer we de formule ... afleiden volgt uit een goede toepassing van de kettingregel dat ... = 0". Leg dit nauwkeurig uit en laat blijken dat je de kettingregel correct kan toepassen.

2002-01-21

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. Definieer $A=\{\frac{1}{k^2+1}|k\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$. Stel dat $(x_n)$ een convergente rij is zodat $x_n\in A$ voor elke $n$. Wat weet je over de limiet?
2. Bespreek de relatie die er bestaat tussen de convergentie van een rij en de convergentie van een deelrij van die rij.
3. Propositie 5.5 uit "De reële en complexe getallen" wordt in de nota's niet bewezen. Bewijs daaruit de volgende drie formules: $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$, $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$ en $|\left|z_1\right|-\left|z_2\right||\le |z_1-z_2|$. Ga efficiënt te werk.
4. Geef een voorbeeld van een functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ die continu is in 0 en 1 maar nergens anders.
5. Neem drie getallen $p,q,r\in \mathbb{ℝ}$ en definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=px+q$ als $x<r$ en $f(x)=x^2$ als $x\ge r$. Voor welke waarden van deze parameters zal $f$ overal differentieerbaar zijn? Bespreek je antwoord en illustreer het met behulp van een grafiek van $f$.
6. In voorbeeld 2.7.ii (Afgeleiden II) staat: "In de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ levert dit $\exp x=(\exp c)\exp (x-c)$." Toon dat aan
7. Werk het bewijs van propositie 2.2 (Speciale functies) verder uit.

Bijkomende informatie

Oplossingen van een aantal oefeningen:

Oplossingen Analyse

Deze file bevat vooral oplossingen voor de opgaven van "Metrische ruimten en continuïteit" en "Afgeleiden I". Er staan slechts een paar oplossingen in voor "Afgeleiden II" en "Integratietheorie". Er zitten dus echt heel wat gaten in - mocht iemand zin hebben om deze oplossingenbundel in de toekomst (volgend jaar?) aan te vullen, contacteer mij: dan geef ik de tex-file door.Arne 13 jun 2006 02:24 (CEST)

Extra oefeningen: AnalyseI.pdf