Kans en maat

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Inleiding

Dit vak wordt gegeven door professor Quaegebeur. Zo goed als alle vragen zijn mondeling te verdedigen. In juni 2008 kregen we 5 a 6 uur tijd om het examen op te lossen.

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij (Ω,𝔐,μ) een maatruimte. Zij voor alle n fn,f𝔏1(Ω,𝔐,μ) en veronderstel dat ||fnf||10 als n. Definieer nu Enδ:={x | |fnf|(x)>δ}. Bewijs dat Enδ een meetbare verzameling is en bewijs vervolgens dat limnμ(Enδ)=0.

2) Beschouw met de Borel sigma algebra. We definiëren S:={G | G gesloten, μ(Gc)=0}

  • Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
  • Toon aan dat in het algemeen geldt dat  μ(Sc)=0. Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: μ(E)=sup{K,K compact , KE}. We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
  • Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
  • Definieer de stijgende rechtscontinue functie  F zodanig dat  μ((a,b])=F(b)F(a). Bewijs dat S={x | ε>0:F(xε)<F(x+ε)}

3) Zij X1,X2,X3 onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat X1+X2,X3 ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.